Question

12．已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）若点M在x轴上，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请写出满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据解方程，可得B、C点的坐标，根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得EF的长，根据等角的三角函数值相等，可得FG的值，根据三角形面积的和差，可得函数解析式；
（3）分类讨论：N点在x轴上方，N点在x轴下方，根据平行四边形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得M点的坐标．

解答 解：（1）x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8．
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC），
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）．
又由抛物线的对称轴是直线x=-2，得A点坐标为（-6，0），
把A，B，C点坐标代入表达式y=ax²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\\{c=8}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线的表达式为y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+8．
（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，即$\frac{EF}{10}$=$\frac{8-m}{8}$，
∴EF=$\frac{40-5m}{4}$．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG=sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{FG}{EF}$=$\frac{4}{5}$，FG=$\frac{4}{5}$•$\frac{40-5m}{4}$=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=$\frac{1}{2}$（8-m）×8-$\frac{1}{2}$（8-m）（8-m）=-$\frac{1}{2}$m²+4m  （0＜m＜8）．
（3）存在，理由如下：
设M（a，0），N（x，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+8），当点N在x轴上方当时，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=NC}\\{MN=AC}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{（a+6）^{2}={x}^{2}+（-\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x）^{2}}\\{（x-a）^{2}+（-\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+8）^{2}=1{0}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a₁=-10，a₂=-2，即M₁（-10，0），M₂（-2，0）；
当点N在x轴上方当时，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=MC}\\{MN=AC}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x+6）^{2}+（-\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+8）^{2}={a}^{2}+{8}^{2}}\\{（x-a）^{2}+（-\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+8）^{2}=1{0}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a₃=4-2$\sqrt{7}$，a₄=4+2$\sqrt{7}$，即M₃（4-2$\sqrt{7}$，0），M₄（4+2$\sqrt{7}$，0），
综上所述：点M的坐标分别是（-10，0），（-2，0），（4-2$\sqrt{7}$，0），（4+2$\sqrt{7}$，0）．

点评 本题考察了二次函数综合题，（1）利用了解方程，待定系数法求函数解析式；（2）利用了相似三角形的判定与性质，等角的三角的三角函数值相等，三角形面积的和差；（3）利用了平行四边形的性质，分类讨论是解题关键，以防遗漏．