【题目】如图,在直角坐标系中,正方形ABCD绕点A(0,6)旋转,当点B落在x轴上时,点C刚好落在反比例函数(k≠0,x>0)的图像上.已知sin∠OAB=.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)反比例函数的图像是否经过AD边的中点,并说明理由.
【答案】(1);(2) 不经过AD边的中点,理由见解析;
【解析】
(1)过C点作CE⊥x轴于E,如图,利用正弦的定义得到sin∠OAB=,设OB=,则AB=5,利用勾股定理即可求得,接着证明△AOB≌△BEC得到AO=BE,OB=CE,从而得到C的坐标,然后利用待定系数法求反比例函数解析式;
(2)利用平移的方法确定D点坐标,再利用线段中点坐标公式得到线段AD的中点坐标,然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断反比例函数的图象是否经过AD边的中点.
(1)过C点作CE⊥x轴于E,如图,
∵A(0,6),
∴OA=6,
在Rt△OAB中,sin∠OAB=,
设OB=,则AB=5,
∴OA=,
∴,
解得:,即OB=,
∴点B的坐标为(3,0),
∵四边形ABCD为正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBE=90°,
而∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠CBE,
∵∠AOB=∠BEC,∠OAB=∠CBE=90°,AB=BC,
∴△AOB≌△BEC(AAS),
∴AO=BE=6,OB=CE=3,
∴点C的坐标为(9,3),
∵点C在反比例函数的图象上,
∴,
∴反比例函数的表达式为;
(2)反比例函数的图象不经过AD边的中点.
理由如下:
∵点B向左平移3个单位,再向上平移6个单位得到A点,
∴点C向左平移3个单位,再向上平移6个单位得到D点,
∴D点坐标为(6,9),
∴线段AD的中点坐标为(,),即(3,3.5),
∵当x=3时,,
∴反比例函数图像不经过AD边的中点.
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【题目】今年新型冠状病毒肺炎(,简称为新冠肺炎)疫情在全球蔓延,我们国家坚决打赢这场无硝烟的人民战争,我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措.复课返校后,为了拉大学生锻炼的间距,某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材:跳绳和毽子,原来购进根跳绳和个毽子共需元;购进根跳绳和个键子共需元.
(1)求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元?
(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共个,由于受疫情影响,商场决定对这两种器材打折销售,其中跳绳以八折出售,毽子以七五折出售,学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍,跳绳的数量不多于根,请你求出学校花钱最少的购买方案.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是正方形,点B的坐标为(4,4).
(1)直线y=mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分,则m=_____;
(2)若直线y=mx﹣2与正方形ABCO的边有两个公共点,则m的取值范围是_____.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,CD与⊙O相切于点E,AD⊥CD于点D.
(1)求证:AE平分∠DAC;
(2)若AB=4,∠ABE=60°,求出图中阴影部分的面积.
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【题目】现种植A、B、C三种树苗一共480棵,安排80名工人一天正好完成,已知每名工人只植一种树苗,且每名工人每天可植A种树苗8棵;或植B种树苗6棵,或植C种树苗5棵.经过统计,在整个过程中,每棵树苗的种植成本如图所示.设种植A种树苗的工人为x名,种植B种树苗的工人为y名.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设种植的总成本为w元,
①求w与x之间的函数关系式;
②若种植的总成本为5600元,从植树工人中随机采访一名工人,求采访到种植C种树苗工人的概率.
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【题目】平面直角坐标系中,正方形OABC如图放置,反比例函数的图像交AB于点D,交BC于点E,已知A(,0),∠DOE=30°,则k的值为( )
A.B.C.3D.3
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【题目】如图,正方形的边长为分别是边上的动点,和交于点.
如图(1),若为边的中点,, 求的长;
如图(2),若点在上从向运动,点在.上从向运动.两点同时出发,同时到达各自终点,求在运动过程中,点运动的路径长:
如图(3), 若分别是边上的中点,与交于点,求的正切值.
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【题目】如图,点P( x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时,有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”,否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”.
例如,点P(x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点,当-3 ≤ x ≤ -1时,y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2,通过构造函数y = x + 2,并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质,得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1,所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”,并说明理由;
(2)若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
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【题目】如图,△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E,交BC于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知∠A=30°,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
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