【题目】如图,点P( x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时,有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”,否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”.
例如,点P(x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点,当-3 ≤ x ≤ -1时,y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2,通过构造函数y = x + 2,并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质,得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1,所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”,并说明理由;
(2)若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
【答案】(1)是,理由见解析;(2)
【解析】
(1)通过构建函数,根据一次函数的性质可得出该函数在0≤x≤2上单调递增,分别代入x=0、x=2即可得出y的取值范围,由此即可得出结论;
(2)由函数y=x2-x与y = x - a在0≤x≤2上是“相邻函数”,构造函数,根据抛物线在0 ≤ x ≤ 2函数的取值范围,令其最大值≤1、最小值≥-1,解关于a的不等式组即可得出结论.
解:(1)是“相邻函数”.
理由如下:,构造函数.
在上随着的增大而增大,
当时,函数有最大值1,当时,函数有最小值,即.
.
即函数与在上是“相邻函数”.
(2),构造函数.
,顶点坐标为
又抛物线的开口向上,
当时,函数有最小值,
当或时,函数有最大值,即,
函数与在上是“相邻函数”,
,即,
.
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【题目】(3分)如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )
A.20海里 B.40海里 C.海里 D.海里
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【题目】如图,在直角坐标系中,正方形ABCD绕点A(0,6)旋转,当点B落在x轴上时,点C刚好落在反比例函数(k≠0,x>0)的图像上.已知sin∠OAB=.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)反比例函数的图像是否经过AD边的中点,并说明理由.
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【题目】如图:抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.点P为线段BC上一点,过点P作直线ι⊥x轴于点F,交抛物线于点E.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)当点P在线段BC上运动时,求线段PE长的最大值;
(3)当PE取最大值时,把抛物线向右平移得到抛物线,抛物线与线段BE交于点M,若直线CM把△BCE的面积分为1:2两部分,则抛物线应向右平移几个单位长度可得到抛物线?
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【题目】如图,一束光线从点O射出,照在经过A(1,0)、B(0,1)的镜面上的点C,经AB反射后,又照到竖立在y轴位置的镜面上的D点,最后经y轴再反射的光线恰好经过点A,则点C的坐标为______.
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【题目】为加快“智慧校园”建设,某县准备为试点学校采购一批 、 两种型号的一体机.经过市场调查发现,今年每套 型一体机的价格比每套 型一体机的价格多 万元,且用万元恰好能购买 套 型一体机和 套 型一体机.
(1)求今年每套 型、 型一体机的价格各是多少万元?
(2)该县明年计划采购 型、 型一体机共 套,需投入资金 万元. 考虑物价因素,预计明年每套 型一体机的价格不变,每套 型一体机的价格比今年上涨 , 设该市明年购买 型一体机 套.
①请写出该县明年需投入资金 (万元)与购买 型一体机 (套)之间的函数关系式 ;
②若该县明年购买 型一体机的总费用不低于购买 型一体机的总费用,那么该县明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划?
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【题目】如图,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点,且为双曲线上的一点,为坐标平面上一动点,垂直于轴,垂直于轴,垂足分别是、.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式.
(2)当点在直线上运动时,直线上是否存在这样的点,使得与的面积相等?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】平面直角坐标系xOy中,对于任意的三个点A、B、C,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的“三点矩形”.在点A,B,C的所有“三点矩形”中,若存在面积最小的矩形,则称该矩形为点A,B,C的“最佳三点矩形”.
如图1,矩形DEFG,矩形IJCH都是点A,B,C的“三点矩形”,矩形IJCH是点A,B,C的“最佳三点矩形”.
如图2,已知M(4,1),N(﹣2,3),点P(m,n).
(1)①若m=1,n=4,则点M,N,P的“最佳三点矩形”的周长为 ,面积为 ;
②若m=1,点M,N,P的“最佳三点矩形”的面积为24,求n的值;
(2)若点P在直线y=﹣2x+4上.
①求点M,N,P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围;
②当点M,N,P的“最佳三点矩形”为正方形时,求点P的坐标;
(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上,且当点M,N,P的“最佳三点矩形”面积为12时,﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3,直接写出抛物线的解析式.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E,若∠1=145°,则∠2的度数是( )
A.30°B.35°C.40°D.45°
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