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【题目】如图,正方形的边长为分别是边上的动点,交于点

如图(1),若为边的中点, 的长;

如图(2),若点上从运动,点.上从运动.两点同时出发,同时到达各自终点,求在运动过程中,点运动的路径长:

如图(3) 分别是边上的中点,交于点,求的正切值.

【答案】

【解析】

1)延长BFCD交于点H,根据勾股定理求出AE,证明△AFB∽△DFH,根据相似三角形的性质求出DH,再证明△AGB∽△EGH,最后根据相似三角形的性质计算即可;

2)取AB的中点O,连接OG,证明△BAF≌△ADE,再确定∠AGB=90°,再根据直角三角形的性质求出OG,最后运用弧长公式计算即可;

3)作FQBDQ,设正方形的边长为2a,再用a表示出BQFQ,最后根据正切的定义即可解答.

解:(1)如图,延长BFCD交于点H

E为边CD的中点

DE=DC=3

由勾股定理可得

∵四边形ABCD为正方形

ABCD

∴△AFB∽△DFH

AB=6

DH=3EH=6

AB//CD

∴△AGB∽△EGH

2)如图:

AB的中点O,连接OG

由题意可得,AF=DE

在△BAF和△ADE

BA=AD BAF=ADEAF=DE

∴△BAF≌△ADESAS

∴∠ABF= DAE

∵∠BAG+ DAE=90°

∴∠BAG+ ABG=90°,即∠AGB=90°

∵点OAB的中点,

OG=AB=3

当点E与点C重合、点F与得D重合时,∠AOG=90°

∴点G运动的路径长为:

3)如图,作FQBDQ,设正方形的边长为2a

∵点F是边AD上的中点

AF=DF=a

∵四边形ABCD为正方形

,∠ADB=45°

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