【题目】如图,正方形的边长为分别是边上的动点,和交于点.
如图(1),若为边的中点,, 求的长;
如图(2),若点在上从向运动,点在.上从向运动.两点同时出发,同时到达各自终点,求在运动过程中,点运动的路径长:
如图(3), 若分别是边上的中点,与交于点,求的正切值.
【答案】;;
【解析】
(1)延长BF、CD交于点H,根据勾股定理求出AE,证明△AFB∽△DFH,根据相似三角形的性质求出DH,再证明△AGB∽△EGH,最后根据相似三角形的性质计算即可;
(2)取AB的中点O,连接OG,证明△BAF≌△ADE,再确定∠AGB=90°,再根据直角三角形的性质求出OG,最后运用弧长公式计算即可;
(3)作FQ⊥BD于Q,设正方形的边长为2a,再用a表示出BQ、FQ,最后根据正切的定义即可解答.
解:(1)如图,延长BF、CD交于点H
∵E为边CD的中点
∴DE=DC=3
由勾股定理可得,
∵四边形ABCD为正方形
∴AB∥CD
∴△AFB∽△DFH
∴
∵AB=6,
∴DH=3,EH=6
∵AB//CD
∴△AGB∽△EGH,
∴
∴ ;
(2)如图:
取AB的中点O,连接OG,
由题意可得,AF=DE
在△BAF和△ADE中
BA=AD, ∠BAF=∠ADE,AF=DE
∴△BAF≌△ADE(SAS)
∴∠ABF= ∠DAE
∵∠BAG+ ∠DAE=90°
∴∠BAG+ ∠ABG=90°,即∠AGB=90°
∵点O是AB的中点,
∴OG=AB=3
当点E与点C重合、点F与得D重合时,∠AOG=90°
∴点G运动的路径长为:;
(3)如图,作FQ⊥BD于Q,设正方形的边长为2a
∵点F是边AD上的中点
∴AF=DF=a,
∵四边形ABCD为正方形
∴,∠ADB=45°
∴
∴
∴.
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【题目】西安地铁的开通运行给市民的出行方式带来了一些变化,乐乐和小敏利用寒假时间,以问卷的方式对西安市民认为地铁站存在的问题进行调查,如图是西安地铁四号线图(部分).乐乐和小敏分别从行政中心(用表示)、文景路(用表示)、凤城九路(用表示)这三站中,随机选取一站作为调查的站点.
(1)在这三站中,求乐乐选取问卷调查的站点是文景路站的概率;
(2)请你用画树状图或列表法,求乐乐和小敏所选取问卷调查的站点相邻的概率.(各站点用相应的字母表示)
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【题目】如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论①∠AED=∠ADC;② ;③ACBE=12;④3BF=4AC,其中结论正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】如图,在直角坐标系中,正方形ABCD绕点A(0,6)旋转,当点B落在x轴上时,点C刚好落在反比例函数(k≠0,x>0)的图像上.已知sin∠OAB=.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)反比例函数的图像是否经过AD边的中点,并说明理由.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,-1)、B(3,3),且当1≤x≤3时,-1≤y≤3,则a的取值范围是___________
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【题目】如图:抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.点P为线段BC上一点,过点P作直线ι⊥x轴于点F,交抛物线于点E.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)当点P在线段BC上运动时,求线段PE长的最大值;
(3)当PE取最大值时,把抛物线向右平移得到抛物线,抛物线与线段BE交于点M,若直线CM把△BCE的面积分为1:2两部分,则抛物线应向右平移几个单位长度可得到抛物线?
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【题目】如图,一束光线从点O射出,照在经过A(1,0)、B(0,1)的镜面上的点C,经AB反射后,又照到竖立在y轴位置的镜面上的D点,最后经y轴再反射的光线恰好经过点A,则点C的坐标为______.
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【题目】如图,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点,且为双曲线上的一点,为坐标平面上一动点,垂直于轴,垂直于轴,垂足分别是、.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式.
(2)当点在直线上运动时,直线上是否存在这样的点,使得与的面积相等?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】 为满足社区居民健身的需要,市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区,经考察,劲松公司有两种型号的健身器可供选择.
(1)劲松公司2015年每套型健身器的售价为万元,经过连续两年降价,2017年每套售价为 万元,求每套型健身器年平均下降率 ;
(2)2017年市政府经过招标,决定年内采购并安装劲松公司两种型号的健身器材共套,采购专项费总计不超过万元,采购合同规定:每套型健身器售价为万元,每套型健身器售价我 万元.
①型健身器最多可购买多少套?
②安装完成后,若每套型和型健身器一年的养护费分别是购买价的 和 .市政府计划支出 万元进行养护.问该计划支出能否满足一年的养护需要?
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