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【题目】如图,直线y=x+3分别交 x轴、y轴于点AC.P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PBx轴于B,SABP=16.

(1)求证:AOC∽△ABP

2)求点P的坐标;

3)设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,QDx轴于D,BQDAOC相似时,求点Q的横坐标.

【答案】1)证明见解析;(2)点P的坐标为(24);(3)点Q的横坐标为:.

【解析】

1)利用PBOC,即可证明三角形相似;

2)由一次函数解析式,先求点AC的坐标,由△AOC∽△ABP,利用线段比求出BPAB的值,从而可求出点P的坐标即可;

3)把P坐标代入求出反比例函数,设Q点坐标为(n),根据△BQD与△AOC相似分两种情况,利用线段比联立方程组求出n的值,即可确定出Q坐标.

1)证明:∵PB⊥ x轴,OC⊥x轴,

∴OC∥PB

∴△AOC∽△ABP

2)解:对于直线y=x+3

x=0,得y=3

y=0,得x=-6

A(-60)C(04)

OA=6OC=3.

∵△AOC∽△ABP

SABP=16SAOC=

,即

PB=4AB=8

OB=2

∴点P的坐标为:(24).

3)设反比例函数的解析式为:y=

P(24)代入,得k=xy=2×4=8

y=.

Q在双曲线上,可设点Q的坐标为:(n(n2)

BD=QD=

①当BQD∽△ACO时,

整理得:

解得:

②当BQD∽△CAO时,

整理得:

解得:(舍去),

综上①②所述,点Q的横坐标为:1+1+.

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