【题目】如图,直线y=x+3分别交 x轴、y轴于点A、C.点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=16.
(1)求证:△AOC∽△ABP;
(2)求点P的坐标;
(3)设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QD⊥x轴于D,当△BQD与△AOC相似时,求点Q的横坐标.
【答案】(1)证明见解析;(2)点P的坐标为(2,4);(3)点Q的横坐标为:或.
【解析】
(1)利用PB∥OC,即可证明三角形相似;
(2)由一次函数解析式,先求点A、C的坐标,由△AOC∽△ABP,利用线段比求出BP,AB的值,从而可求出点P的坐标即可;
(3)把P坐标代入求出反比例函数,设Q点坐标为(n,),根据△BQD与△AOC相似分两种情况,利用线段比联立方程组求出n的值,即可确定出Q坐标.
(1)证明:∵PB⊥ x轴,OC⊥x轴,
∴OC∥PB,
∴△AOC∽△ABP;
(2)解:对于直线y=x+3,
令x=0,得y=3;
令 y=0,得x=-6 ;
∴A(-6,0),C(0,4),
∴OA=6,OC=3.
∵△AOC∽△ABP,
∴,
∵S△ABP=16,S△AOC=,
∴,
∴,即,
∴PB=4,AB=8,
∴OB=2,
∴点P的坐标为:(2,4).
(3)设反比例函数的解析式为:y=,
把P(2,4)代入,得k=xy=2×4=8,
∴y=.
点Q在双曲线上,可设点Q的坐标为:(n,)(n>2),
则BD=,QD=,
①当△BQD∽△ACO时,,
即,
整理得:,
解得:或;
②当△BQD∽△CAO时,,
即,
整理得:,
解得:,(舍去),
综上①②所述,点Q的横坐标为:1+或1+.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形AOB,∠OAB= 90° ,直角边AO在x轴上,且AO= 1.将 Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90° 得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O= 2AO,再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2,且A2O=2A1O......依此规律,得到等腰直角三角形A2018OB2018 ,则点A2018的坐标为__________.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG.
(1)如图1,若在旋转过程中,点E落在对角线AC上,AF,EF分别交DC于点M,N.
①求证:MA=MC;
②求MN的长;
(2)如图2,在旋转过程中,若直线AE经过线段BG的中点P,连接BE,GE,求△BEG的面积
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【题目】将含有 30°角的直角三角板 OAB 如图放置在平面直角坐标系中,OB 在 x轴上,若 OA=2,将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75°,则点 A 的对应点 A′ 的坐标为___________.
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【题目】如图,菱形ABCD对角线交于点O,BE∥AC,AE∥BD,EO与AB交于点F.
(1)求证:四边形AEBO是矩形.
(2)若CD=5,求OE的长.
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【题目】如图,在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=9,折叠纸片ABCD,使顶点C落在边AD上的点G处,折痕分别交边AD、BC于点E、F,则△GEF的面积最大值是________.
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【题目】已知等边△ABC边长为2,D为BC中点,连接AD.点O在线段AD上运动(不含端点A、D),以点O为圆心,长为半径作圆,当O与△ABC的边有且只有两个公共点时,DO的取值范围为_____.
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【题目】(11·湖州)(本小题10分)
如图,已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF。
⑴求证:四边形AECF是平行四边形;
⑵若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长。
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