Question

如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线与直线BC交于点D（3，）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式；

（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点，过点作PH垂直于x轴，交直线BD于点．当四边形是平行四边形时，试求动点的坐标．

Answer 1

解:(1)在直线中，令得，所以得点B

设直线BD的解析式为：,

代入B、D两点坐标得

解得：.

所以直线BD的解析式为：.

将B、D两点坐标代入抛物线中得：

解得：.

所以，抛物线的解析式为：

(2)存在．

假设存在点M（x,y）符合题意,则有如下两种情形：

①若∽,则,所以有，

即又因为M点在抛物线上所以，

所以：

即：

解得或，

又因为M点在第一象限，不符合题意，

所以，故M.

②若∽,

则即，

所以

即：

解得或，

又因为M点在第一象限，不符合题意，

所以，故M(,)…

所以，符合条件的点M的坐标为 ，(,)

（3）设点P坐标为则 

又因为点P在直线BD上方，

所以0＜＜3，

又PH 垂直于x轴，交直线BD于点，

所以H,

所以，

因为四边形是平行四边形，

所以PH=OB=2，

即，

解得或均满足0＜＜3

当时，，

当时，，

所以点P的坐标为，