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【题目】将一块含有45°的三角板ABC的顶点A放在⊙O上,且AC与⊙O相切于点A(如图1),将△ABC从点A开始,绕着点A顺时针旋转,设旋转角为α(0°<α<135°),旋转后,AC、AB分别与⊙O交于点E,F,连接EF(如图2).已知AC=8,⊙O的半径为4.

(1)在旋转过程中,有以下几个量:①弦EF的长;②的长;③∠AFE的度数;④点O到EF的距离.其中不变的量是___________________(填序号);

(2)当α=________°时,BC与⊙O相切(直接写出答案);

(3)当BC与⊙O相切时,求△AEF的面积.

【答案】(1)①②④;(2)90°;(3)16

【解析】

试题分析:(1)连接EO,FO,可知三角形EOF为等腰直角三角形,作OD垂直EF于D,由垂径定理,勾股定理可得出结论;(2)因为AC=8,而⊙O的半径为4.所以当BC与⊙O相切时,△ACB绕点A旋转90°后AC恰为⊙O直径,即旋转角α为90度时BC与⊙O相切;(3)当BC与⊙O相切时,如图:点C与点E重合,AC为⊙O直径,利用三角形AEF是等腰直角三角形得出结果.

试题解析:(1)连接EO,FO,因为∠A=45,所以∠EOF=2∠A=90,因为EO=FO,所以三角形EOF为等腰直角三角形,作OD垂直EF于D,由垂径定理得:OD垂直平分EF,三角形ODE和三角形ODF是两个全等的等腰直角三角形,所以EF=OF,OD=OF,而半径OF是一定的,所以弦EF的长不变,点O到EF的距离即OD不变,故①④正确,又因为半径不变,圆心角∠EOF=90不变,所以的长不变,故②正确,而∠AFE的度数等于弧AE度数的一半,A点不变,E是旋转中AC与⊙O交点,可变,故弧AE度数可变,所以∠AFE的度数可变,故③错误,所以不变的序号应是①②④;(2)因为圆的切线垂直于过切点的半径,而∠ACB=90当BC与⊙O相切时,因为AC=8,而⊙O的半径为4.所以△ACB绕点A旋转90°后AC恰为⊙O直径,即旋转角α为90度时BC与⊙O相切;(3)如图,

当BC与⊙O相切时,依题意可知,△ACB旋转90°后AC为⊙O直径,且点C与点E重合,∵AC为⊙O直径,∴∠AFE=90°.又∵∠BAC=45°,∴∠FCA=45°.∴∠BAC=∠FCA,∴AF=EF.∵AC=8,∴AF=EF=4,∴S△AEF=×(4)2=16.故△AEF的面积是16..

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