【题目】将一块含有45°的三角板ABC的顶点A放在⊙O上,且AC与⊙O相切于点A(如图1),将△ABC从点A开始,绕着点A顺时针旋转,设旋转角为α(0°<α<135°),旋转后,AC、AB分别与⊙O交于点E,F,连接EF(如图2).已知AC=8,⊙O的半径为4.
(1)在旋转过程中,有以下几个量:①弦EF的长;②的长;③∠AFE的度数;④点O到EF的距离.其中不变的量是___________________(填序号);
(2)当α=________°时,BC与⊙O相切(直接写出答案);
(3)当BC与⊙O相切时,求△AEF的面积.
【答案】(1)①②④;(2)90°;(3)16
【解析】
试题分析:(1)连接EO,FO,可知三角形EOF为等腰直角三角形,作OD垂直EF于D,由垂径定理,勾股定理可得出结论;(2)因为AC=8,而⊙O的半径为4.所以当BC与⊙O相切时,△ACB绕点A旋转90°后AC恰为⊙O直径,即旋转角α为90度时BC与⊙O相切;(3)当BC与⊙O相切时,如图:点C与点E重合,AC为⊙O直径,利用三角形AEF是等腰直角三角形得出结果.
试题解析:(1)连接EO,FO,因为∠A=45,所以∠EOF=2∠A=90,因为EO=FO,所以三角形EOF为等腰直角三角形,作OD垂直EF于D,由垂径定理得:OD垂直平分EF,三角形ODE和三角形ODF是两个全等的等腰直角三角形,所以EF=OF,OD=OF,而半径OF是一定的,所以弦EF的长不变,点O到EF的距离即OD不变,故①④正确,又因为半径不变,圆心角∠EOF=90不变,所以的长不变,故②正确,而∠AFE的度数等于弧AE度数的一半,A点不变,E是旋转中AC与⊙O交点,可变,故弧AE度数可变,所以∠AFE的度数可变,故③错误,所以不变的序号应是①②④;(2)因为圆的切线垂直于过切点的半径,而∠ACB=90当BC与⊙O相切时,因为AC=8,而⊙O的半径为4.所以△ACB绕点A旋转90°后AC恰为⊙O直径,即旋转角α为90度时BC与⊙O相切;(3)如图,
当BC与⊙O相切时,依题意可知,△ACB旋转90°后AC为⊙O直径,且点C与点E重合,∵AC为⊙O直径,∴∠AFE=90°.又∵∠BAC=45°,∴∠FCA=45°.∴∠BAC=∠FCA,∴AF=EF.∵AC=8,∴AF=EF=4,∴S△AEF=×(4)2=16.故△AEF的面积是16..
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【题目】如图,D是△ABC的BC边上的一点,AD=BD,∠ADC=80°.
(1)求∠B的度数;
(2)若∠BAC=70°,判断△ABC的形状,并说明理由.
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【题目】下列性质中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( )
A.任意两边之和大于第三边
B.内角和等于180°
C.有两个锐角的和等于90°
D.有一个角的平分线垂直于这个角的对边
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【题目】小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对于同一物体,影子的大小与光源到物体的距离有关.因此,他们认为:可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是,他们做了以下尝试.
(1)如图1,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30cm,在其正上方有一灯泡,在灯泡的照射下,正方形框架的横向影子A′B,D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为 .
(2)不改变图1中灯泡的高度,将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放,请计算此时横向影子A′B,D′C的长度和为多少?
(3)有n个边长为a的正方形按图3摆放,测得横向影子A′B,D′C的长度和为b,求灯泡离地面的距离.(写出解题过程,结果用含a,b,n的代数式表示)
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【题目】如图是某住宅的平面结构示意图,图中标注了有尺寸(墙体厚度忽略不计,单位:米),房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖,如果选用地砖的价格是a元/米2 , 问他买地砖至少需要用多少元?(用含a,x,y的代数式表示)
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【题目】观察下列等式 =1﹣ , = ﹣ , = ﹣ ,把以上三个等式两边分别相加得: + + =1﹣ + ﹣ + ﹣ =1﹣ = .
(1)猜想并写出: = .
(2)直接写出下列各式的计算结果:
① + + +…+ =;
② + + +…+ = .
(3)探究并计|算: +…+ .
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【题目】下列定理中,没有逆定理的是( ).
A. 全等三角形对应角相等 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C. 一个三角形中,等角对等边 D. 两直线平行,同位角相等
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【题目】如图,等腰直角三角形ABC的顶点A,C在x轴上,∠ACB=90°,AC=BC=,反比例函数()的图象分别与AB,BC交于点D,E.连接DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为______________.
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【题目】如图,数轴上线段AB=2(单位长度),CD=4(单位长度),点A在数轴上表示的数是﹣10,点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.
(1)问运动多少时BC=8(单位长度)?
(2)当运动到BC=8(单位长度)时,点B在数轴上表示的数是;
(3)P是线段AB上一点,当B点运动到线段CD上时,是否存在关系式 =3,若存在,求线段PD的长;若不存在,请说明理由.
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