【题目】在△ABC中,P为边AB上一点.
(1) 如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB;
(2) 若M为CP的中点,AC=2,
① 如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
② 如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①;②
【解析】试题分析:(1)根据已知条件易证△ACP∽△ABC,由相似三角形的性质即可证得结论;(2)①如图,作CQ∥BM交AB延长线于Q,设BP=x,则PQ=2x,易证△APC∽△ACQ,所以AC2=AP·AQ,由此列方程,解方程即可求得BP的长;②如图:作CQ⊥AB于点Q,作CP0=CP交AB于点P0,再证△AP0C∽△MPB,(2)的方法求得AP0的长,即可得BP的长.
试题解析:(1)证明:∵∠ACP=∠B,∠BAC=∠CAP,
∴△ACP∽△ABC,
∴AC:AB=AP:AC,
∴AC2=AP·AB;
(2)①如图,作CQ∥BM交AB延长线于Q,设BP=x,则PQ=2x
∵∠PBM=∠ACP,∠PAC=∠CAQ,
∴△APC∽△ACQ,
由AC2=AP·AQ得:22=(3-x)(3+x),∴x=
即BP=;
②如图:作CQ⊥AB于点Q,作CP0=CP交AB于点P0,
∵AC=2,∴AQ=1,CQ=BQ=,
设AP0=x,P0Q=PQ=1-x,BP=-1+x,
∵∠BPM=∠CP0A,∠BMP=∠CAP0,
∴△AP0C∽△MPB,∴,
∴MPP0C=AP0BP=x(-1+x),
解得x=
∴BP=-1+=.
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【题目】如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1=∠2(已知),
且∠1=∠CGD(___ ___)
∴∠2=∠CGD(等量代换)
∴CE∥BF(__ ___)
∴∠____ ____=∠BFD(___ ____)
又∵∠B=∠C(已知)
∴____ ____(等量代换)
∴AB∥CD(___ ____)
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【题目】如图①,已知AD∥BC,∠B=∠D=120°.
(1)请问:AB与CD平行吗?为什么?
(2)若点E、F在线段CD上,且满足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如图②,求∠FAC的度数.
(3)若点E在直线CD上,且满足∠EAC=∠BAC,求∠ACD:∠AED的值(请自己画出正确图形,并解答).
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【题目】如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,将△ABC向右平移4格,再向上平移2格,其中每个格子的边长为1个单位长度.
(1)在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)若连接AA′、CC′,则这两条线段的关系是________;
(3)利用格点作直线MN,将△ABC分成面积相等的三角形.
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【题目】如图,在等边△ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且ED=EC.
(1)当点E为AB的中点时(如图1),则有AE DB(填“>”“<”或“=”);
(2)猜想AE与DB的数量关系,并证明你的猜想.
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【题目】如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成4个小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)图2中阴影部分的面积为 ;
(2)观察图2,请你写出式子(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系: ;
(3)若x+y=-6,xy=2.75,则x-y= ;
(4)实际上有许多恒等式可以用图形的面积来表示,如图3,它表示等式: .
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【题目】如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
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【题目】《列子》中《歧路亡羊》写道:
杨子之邻人亡羊,既率其党,又请杨子之竖追之。杨 子曰:“嘻!亡一羊,何追者之众?”邻人日:“多歧路。”既 反,问:“获羊乎?”日:“亡之矣。”曰:“奚亡之?”曰:“歧路 之中又有歧焉,吾不知所之,所以反也.”
如图,假定所有的分叉口都各有两条新的歧路,并且丢失的羊走每条歧路的可能性都相等.
(1)到第n次分歧时,共有多少条歧路?以当羊走过n个三叉路口后,找到羊的概率是多少?
(2)当n=5时,派出6个人去找羊,找到羊的概率是多少?
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