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【题目】ABC中,P为边AB上一点

(1) 如图1,若∠ACPB,求证:AC2AP·AB

(2) MCP的中点,AC2

如图2,若∠PBMACPAB3,求BP的长;

如图3,若∠ABC45°ABMP60°,直接写出BP的长

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】试题分析:(1)根据已知条件易证△ACP∽△ABC,由相似三角形的性质即可证得结论;(2如图,作CQ∥BMAB延长线于Q,设BPx,则PQ2x,易证△APC∽△ACQ,所以AC2AP·AQ,由此列方程,解方程即可求得BP的长;如图:作CQ⊥AB于点Q,作CP0CPAB于点P0,再证△AP0C∽△MPB,(2)的方法求得AP0的长,即可得BP的长.

试题解析:(1)证明:∵∠ACP∠B∠BAC∠CAP

∴△ACP∽△ABC

∴ACABAPAC

∴AC2AP·AB

2如图,作CQ∥BMAB延长线于Q,设BPx,则PQ2x

∵∠PBM∠ACP∠PAC∠CAQ

∴△APC∽△ACQ

AC2AP·AQ得:22=(3x)(3x),x

BP

如图:作CQ⊥AB于点Q,作CP0CPAB于点P0

AC2AQ1CQBQ

AP0=xP0QPQ1xBP1x

∵∠BPM∠CP0A∠BMP∠CAP0

∴△AP0C∽△MPB

MPP0CAP0BPx1x),

解得x

BP1

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∵∠1=2(已知),

且∠1=CGD___ ___

∴∠2=CGD(等量代换)

CEBF__ ___

∴∠____ ____=BFD___ ____

又∵∠B=C(已知)

____ ____(等量代换)

ABCD___ ____

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(2)观察图2,请你写出式子(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系:

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(4)实际上有许多恒等式可以用图形的面积来表示如图3,它表示等式:

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