Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，E是AD的中点．动点P从A点出发，沿A-B-C路线以1cm/秒的速度运动，运动的时间为t秒．将△APE以EP为折痕折叠，点A的对应点记为M．

（1）如图（1），当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；
（2）如图（2），当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；
（3）直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值2$\sqrt{41}$-10．

Answer 1

分析 （1）作EF⊥BC于F，证明△PBM∽△MFE，求出BM=$\frac{4}{5}$t，根据勾股定理求出t；
（2）证明四边形APME为菱形，得到AP=10，由勾股定理求出t；
（3）根据题意得到当点M在线段BE上时，BM最小，根据勾股定理求出BM的最小值．

解答 解：（1）如图1，作EF⊥BC于F，
AP=t，则PB=8-t，PM=t，EF=AB=8，
∵∠B=∠PME=∠EFM=90°，
∴△PBM∽△MFE，
∴$\frac{BM}{PM}$=$\frac{EF}{EM}$，
BM=$\frac{4}{5}$t，
在Rt△PBM中，PB²+BM²=PM²，
（8-t）²+（$\frac{4}{5}$t）²=t²，
解得：t=5；
（2）由题意可知，
∠APE=∠MPE，∠AEP=∠MEP，
∵BC∥AD，
∴∠MPE=∠AEP，
∴四边形APME为菱形，
∴AP=AE=10，
在Rt△ABP中，AB²+BP²=PA²，
即8²+（t-8）²=10²，
解得：t₁=2（不合题意），t₂=14；
（3）如图2，当点M在线段BE上时，BM最小，
∵AB=8，AE=10，
由勾股定理，BE=2$\sqrt{41}$，
BM=2$\sqrt{41}$-10．

点评 本题考查的是矩形的性质和图形折叠问题，正确运用相似三角形的性质，用t表示出有关的线段，根据勾股定理列出算式是解题的关键，要求学生学会用运动的观点分析问题．