Question

4．如图，已知直线y=-x-（k+1）与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于B、C两点，与x轴相交于A点，BM⊥x轴交x轴于点M，S_△OMB=$\frac{3}{2}$
（1）求这两个函数的解析式；
（2）若已知点C的横坐标为3，求A、C两点坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点P，使以A、O、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用S_△OMB=$\frac{3}{2}$，结合反比例函数图象的性质得出k的值，进而得出答案；
（2）利用图象上点的坐标性质分别求出A，C点坐标；
（3）以两边为邻边，另一边为对角线画平行四边形是可行的，所以点P存在．

解答 解：（1）∵S_△OMB=$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$×OM×BM=$\frac{1}{2}$|k|，由反比例函数图象在第二、四象限，
∴k=-3，
∴这两个函数的解析式分别为：y=-$\frac{3}{x}$，y=-x+2；

（2）在y=-x+2中，
设y=0，则x=2，
所以A（2，0），
将x=3代入y=-$\frac{3}{x}$得，y=-1，
所以C（3，-1）；

（3）当AO是对角线时，由C点坐标（3，-1），可得：点P₁（-1，1）；
当OC是对角线时，AO=P₂C=2，则点P₂（1，-1）；
当AC是对角线时，AO=CP₃，则点P₃（5，-1）；
故存在P（-1，1）或（1，-1）或（5，-1），使以A、O、C、P为顶点的四边形为平行四边形．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及函数图象上点的坐标性质、平行四边形的性质与判定等知识，正确利用分类讨论得出是解题关键．