Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P沿射线BD运动，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得线段PQ．

(1)当点Q落到AD上时，∠PAB＝____°，PA＝_____，长为_____；

(2)当AP⊥BD时，记此时点P为P0，点Q为Q0，移动点P的位置，求∠QQ0D的大小；

(3)在点P运动中，当以点Q为圆心，BP为半径的圆与直线BD相切时，求BP的长度；

(4)点P在线段BD上，由B向D运动过程(包含B、D两点)中，求CQ的取值范围，直接写出结果．

Answer 1

【答案】(1)45，，π；(2)满足条件的∠QQ0D为45°或135°；(3)BP的长为或；(4)≤CQ≤7.

【解析】

(1)由已知，可知△APQ为等腰直角三角形，可得∠PAB，再利用三角形相似可得PA，及弧AQ的长度；

(2)分点Q在BD上方和下方的情况讨论求解即可．

(3)分别讨论点Q在BD上方和下方的情况，利用切线性质，在由(2)用BP0表示BP，由射影定理计算即可；

(4)由(2)可知，点Q在过点Qo，且与BD夹角为45°的线段EF上运动，有图形可知，当点Q运动到点E时，CQ最长为7，再由垂线段最短，应用面积法求CQ最小值．

解：(1)如图，过点P做PE⊥AD于点E

由已知，AP＝PQ，∠APQ＝90°

∴△APQ为等腰直角三角形

∴∠PAQ＝∠PAB＝45°

设PE＝x，则AE＝x，DE＝4﹣x

∵PE∥AB

∴△DEP∽△DAB

∴=

∴=

解得x＝

∴PA＝PE＝

∴弧AQ的长为2π＝π．

故答案为：45，，π．

(2)如图，过点Q做QF⊥BD于点F

由∠APQ＝90°，

∴∠APP0+∠QPD＝90°

∵∠P0AP+∠APP0＝90°

∴∠QPD＝∠P0AP

∵AP＝PQ

∴△APP0≌△PQF

∴AP0＝PF，P0P＝QF

∵AP0＝P0Q0

∴Q0D＝P0P

∴QF＝FQ0

∴∠QQ0D＝45°．

当点Q在BD的右下方时，同理可得∠PQ0Q＝45°，

此时∠QQ0D＝135°，

综上所述，满足条件的∠QQ0D为45°或135°．

(3)如图当点Q直线BD上方，当以点Q为圆心，BP为半径的圆与直线BD相切时

过点Q做QF⊥BD于点F，则QF＝BP

由(2)可知，PP0＝BP

∴BP0＝BP

∵AB＝3，AD＝4

∴BD＝5

∵△ABP0∽△DBA

∴AB2＝BP0BD

∴9＝BP×5

∴BP＝

同理，当点Q位于BD下方时，可求得BP＝

故BP的长为或

(4)由(2)可知∠QQ0D＝45°

则如图，点Q在过点Q0，且与BD夹角为45°的线段EF上运动，

当点P与点B重合时，点Q与点F重合，此时，CF＝4﹣3＝1

当点P与点D重合时，点Q与点E重合，此时，CE＝4+3＝7

∴EF＝==5

过点C做CH⊥EF于点H

由面积法可知

CH＝==

∴CQ的取值范围为：≤CQ≤7