Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵∠ACD=60°，

∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，

∴∠DOP=180°﹣120°=60°，

∵∠APD=30°，

∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴OD⊥DP，

∵OD为半径，

∴DP是⊙O切线；

（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，

∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3 cm，

∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB= ×3×3 ﹣ =（ ﹣ π）cm2

【解析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．