【题目】已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC=90°,∠DCB<90°,对角线AC平分∠DCB,延长DA,CB相交于点E.
(1)如图1,EB=AD,求证:△ABE是等腰直角三角形;
(2)如图2,连接OE,过点E作直线EF,使得∠OEF=30°,当∠ACE≥30°时,判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由.
【答案】
(1)
证明:∵对角线AC平分∠DCB,
∴∠ACD=∠ACB,
∴=,
∴AD=AB,
∵EB=AD,
∴AB=EB,
∵∠EBA=∠ADC=90°,
∴△ABE是等腰直角三角形
(2)
解:直线EF与⊙O相离.理由如下:
∵∠DCB<90°,∠ACD=∠ABC,
∵∠ACE≥30°,
∴60°≤∠DCE<90°,
∴∠AEC≤30°,
∴AE≥AC,
∵OE>AE,
∴OE>AC,
作OH⊥EF于H,如图,
在Rt△OEH中,∵∠OEF=30°,
∴OH=OE,
∴OH>OA,
∴直线EF与⊙O相离.
【解析】(1)由∠ACD=∠ABC得到,则AD=AB,加上EB=AD,则AB=EB,再根据圆内接四边形的性质得∠EBA=∠ADC=90°,于是可判断△ABE是等腰直角三角形
(2)由于∠ACD=∠ABC,∠ACE≥30°,则60°≤∠DCE<90°,根据三角形边角关系得AE≥AC,而OE>AE,所以OE>AC,作OH⊥EF于H,如图,根据含30度的直角三角形三边的关系得OH=OE,所以OH>OA,则根据直线与圆的位置关系可判断直线EF与⊙O相离.
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和切线的判定定理的相关知识点,需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题.
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【题目】2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20千米.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈1.41,≈1.73)
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【题目】在盒子里放有三张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片,从中随机抽取两张卡片,把两张卡片上的整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】清明期间,某校师生组成200个小组参加“保护环境,美化家园”植树活动.综合实际情况,校方要求每小组植树量为2至5棵,活动结束后,校方随机抽查了其中50个小组,根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图.请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1)请把条形统计图补充完整,并算出扇形统计图中,植树量为“5棵树”的圆心角是 ;
(2)请你帮学校估算此次活动共种多少棵树.
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【题目】已知一组数据1,2,3,…,n(从左往右数,第1个数是1,第2个数是2,第3个数是3,依此类推,第n个数是n).设这组数据的各数之和是s,中位数是k,则s= (用只含有k的代数式表示).
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【题目】某校开展校园“美德少年”评选活动,共有“助人为乐”,“自强自立”、“孝老爱亲”,“诚实守信”四种类别,每位同学只能参评其中一类,评选后,把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计,制作了如下统计表,后来发现,统计表中前两行的数据都是正确的,后两行的数据中有一个是错误的.
类别 | 频数 | 频率 |
助人为乐美德少年 | a | 0.20 |
自强自立美德少年 | 3 | b |
孝老爱亲美德少年 | 7 | 0.35 |
诚实守信美德少年 | 6 | 0.32 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)统计表中的a= ,b ;
(2)统计表后两行错误的数据是 ,该数据的正确值是 ;
(3)校园小记者决定从A,B,C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位,用画树状图或列表的方法,求A,B都被采访到的概率
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【题目】图(1)是一个蒙古包的照片,这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体,如图(2)所示.
(1)请画出这个几何体的俯视图;
(2)图(3)是这个几何体的正面示意图,已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米,圆柱部分的高OO1=4米,底面圆的直径BC=8米,求∠EAO的度数(结果精确到0.1°).
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【题目】如图,在△ABC中,且于点E,与CD相交于点F,于点H,交BE于点G.下列结论:①BD=CD;②AD+CF=BD;③;④AE=CF.其中正确的是____________(填序号)
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