Question

【题目】小明在学习“圆的对称性”时知道结论：垂直于弦的直径一定平分这条弦，请尝试解决问题：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，圆O是△ACB的外接圆．点D是圆O上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，且BD平分∠ABE，

（1）判断直线ED与圆O的位置关系，并说明理由．

（2）若AC＝12，BC＝5，求线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）直线ED与⊙O相切，见解析；（2）4

【解析】

（1）直线ED与⊙O相切．连接OD．根据圆的性质和等边对等角可得∠ODB＝∠OBD，等量代换得到∠ODB＝∠DBE，根据平行线的判定和性质得到∠DEC＝∠ODE＝90°，再根据垂直的定义和性质可得OD⊥DE，根据切线的判定即可求解；

（2）如图，延长DO交AC于点H，连结CO，构建直角△ABC的中位线OH，运用三角形中位线定理和勾股定理分别求得OH＝HO＝BC＝、AB＝13，结合图形找到相关线段间的和差关系求得线段BE的长度即可．

（1）如图，连接OD．

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

又∵∠OBD＝∠DBE，

∴∠ODB＝∠DBE，

∴OD∥BE，

又∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

又∵OD为半径，

∴直线ED与⊙O相切；

（2）如图，延长DO交AC于点H，连结CO，

∵OD∥BE，∠ODE＝90°，

∴∠OHC＝90°，即OH⊥AC，

又∵OA＝OC，

∴AH＝CH，又由O是AB的中点，

∴HO是△ABC的中位线，

∴HO＝BC＝．

∵AC为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝12，BC＝5，

∴AB＝＝＝13，

∴OA＝OD＝AB＝．

∴HD＝HO+OD＝9

由四边形CEDH是矩形，

∴CE＝HD＝9，

∴CE＝9，

∴BE＝CE﹣BC＝4．