【题目】如图,抛物线交
轴于
、
两点,交
轴于点
,点
的坐标为
,直线
经过点
、
.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点是直线
上方抛物线上的一动点,求
面积
的最大值并求出此时点
的坐标;
(3)过点的直线交直线
于点
,连接
,当直线
与直线
的一个夹角等于
的3倍时,请直接写出点
的坐标.
【答案】(1);(2)
,点
坐标为
;(3)点
的坐标为
,
【解析】
(1)利用B(5,0)用待定系数法求抛物线解析式;
(2)作PQ∥y轴交BC于Q,根据求解即可;
(3)作∠CAN=∠NAM1=∠ACB,则∠A M1B=3∠ACB, 则 NAM1∽
A C M1,通过相似的性质来求点M1的坐标;作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2, 则∠A M2C=3∠ACB,根据对称点坐标特点可求M2的坐标.
(1)把代入
得
.
∴;
(2)作PQ∥y轴交BC于Q,设点,则
∵
∴OB=5,
∵Q在BC上,
∴Q的坐标为(x,x-5),
∴PQ==
,
∴
=
=
∴当时,
有最大值,最大值为
,
∴点坐标为
.
(3)如图1,作∠CAN=∠NAM1=∠ACB,则∠A M1B=3∠ACB,
∵∠CAN=∠NAM1,
∴AN=CN,
∵=-(x-1)(x-5),
∴A的坐标为(1,0),C的坐标为(0,-5),
设N的坐标为(a,a-5),则
∴,
∴a= ,
∴N的坐标为(,
),
∴AN2==
,AC2=26,
∴,
∵∠NAM1=∠ACB,∠N M1A=∠C M1A,
∴ NAM1∽
A C M1,
∴,
∴,
设M1的坐标为(b,b-5),则
∴,
∴b1= ,b2=6(不合题意,舍去),
∴M1的坐标为,
如图2,作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2, 则∠A M2C=3∠ACB,
易知ADB是等腰直角三角形,可得点D的坐标是(3,-2),
∴M2 横坐标= ,
M2 纵坐标= ,
∴M2 的坐标是,
综上所述,点M的坐标是或
.
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【题目】如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为( )
A. B.
C.
D. 1
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【题目】在一个不透明的布袋里装有4个标有数字为-3、-1、2、4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同,小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小红从剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)请你运用画树状图或列表的方法,写出点P所有可能的坐标;
(2)求出点P(x,y)满足x+y>1的概率.
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【题目】国家规定,中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h.为此,某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生.根据调查结果绘制成的统计图如图所示,其中A组为t<0.5h,B组为0.5h≤t<1h,C组为1h≤t<1.5h,D组为t≥1.5h.
请根据上述信息解答下列问题:
(1)本次调查数据的众数落在 组内,中位数落在 组内;
(2)该辖区约有18000名初中学生,请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=4,AC与相交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,P是OD的中点,过点P作PM⊥BC于点M,交
于点N′,则PN-MN′的值为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】小明在学习“圆的对称性”时知道结论:垂直于弦的直径一定平分这条弦,请尝试解决问题:如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,圆O是△ACB的外接圆.点D是圆O上一点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,且BD平分∠ABE,
(1)判断直线ED与圆O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=12,BC=5,求线段BE的长.
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