Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点，连结CE、CD，求证：
（1）∠ECB=∠DCB；
（2）CD=2EC．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点F，连接BF，根据SAS证明△BCE≌△CBF，得出∠ECB=∠FBC，EC=BF，再证明BF是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出BF∥CD，BF=$\frac{1}{2}$CD，由平行线的性质得出∠FBC=∠DCB，即可得出结论；
（2）由（1）得：EC=BF，BF=$\frac{1}{2}$CD，即可得出结论．

解答 证明：（1）取AC的中点F，连接BF，
∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB，BE=CF，
在△BCE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}&{\;}\\{∠ABC=∠ACB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBF（SAS），
∴∠ECB=∠FBC，EC=BF，
∵BD=AB，F是AC的中点，
∴BF是△ACD的中位线，
∴BF∥CD，BF=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠FBC=∠DCB，
∴∠ECB=∠DCB；
（2）由（1）得：EC=BF，BF=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=2EC．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．