Question

13．如图，在平行四边形ABCD，BE⊥AD于点E，且点E为AD中点，tanA=2，点P在AD的延长线上，作EF⊥CP于点F，连接BF．
（1）若BC=4，求CD的长；
（2）求证：CF=$\sqrt{2}$BF-EF．

Answer 1

分析 （1）在RT△求出AB，再利用平行四边形的性质即可解决问题．
（2）将△EBF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，只要证明①F、C、M共线，②△BFM是等腰直角三角形即可．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC=4，AB=CD
∵AE=ED=2，tanA=2，∠AEB=90°，
∴$\frac{EB}{AE}$=2，BE=4，
在RT△ABE中，∵AE=2，BE=4，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
（2）证明：∵BC=BE，∠EBC=90°，
∴可以将△EBF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，
∵∠EBC+∠EFC=180°，
∴∠BEF+∠BCF=180°，
∵∠BEF=∠BCM
∴∠BCF+∠BCM=180°，
∴F、C、M共线，BF=BM，∠FBM=90°，
∴FM=$\sqrt{2}$BF，
∵EF=CM，
∴EF+CF=CM+CF=FM=$\sqrt{2}$FB．
∴CF=$\sqrt{2}$FB-EF．

点评 本题考查平行四边形的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．