Question

如图1，在正方形ABCD中，点E从点A处沿AD方向向终点D运动，同时点F以相同的速度从点D处沿DA方向向终点A运动，连接CF交对角线BD于G，连接BE交AG于点H．
（1）在点E、F相遇前，求证：四边形EBCF为等腰梯形；
（2）设正方形的边长为2，在运动的过程中，
①当△DFG为等腰三角形时，求DF的长．
②求点H运动的路径的长（写出必要的解答过程）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由条件可证明△ABE≌△DCF，可得BE=CF，且EF∥BC，EF≠BC，可知四边形EBCF为等腰梯形；
（2）①因为∠BDF=45°，故只能DF=DG和DG=FG，当DF=DG时，可得BG=BC，则可求得DG，即DF的长，当DG=FG时，则可知DF=DA=2；
②由条件可知∠AHB=90°，可知点H在以AB为直径的圆上，且从A点运动到两对角线的交点，可求得其路径为

1

4

圆周．

解答：（1）证明：如图1，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDF，且AE=DF，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAE=∠CDF AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE=CF，
∵EF∥BC，且EF≠BC，
∴四边形EBCF为等腰梯形；
（2）解：
①∵BD为正方形的对角线，BC=2，
∴BD=2

2

，且∠BDA=45°，
∴DF≠FG，
只能有DF=DG或DG=FG，
当DF=DG时，则∠DFG=∠DGF，
如图2，

∵DF∥BC，
∴∠DFG=∠BCG，且∠DGF=∠BGC，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC=2，
∴DG=BD-BG=2

2

-2，
∴DF=2

2

-2，
当DG=FG时，如图3，

则∠GFD=∠GDF=45°，
∴∠FGD=90°，
即AG⊥BD，
∴G为BD的中点，
此时F点到达A点，则DF=AD=2，
综上可知当△DFG为等腰三角形时，DF的长为2

2

-2或2；
②在△AGD和△CGD中，

AD=CD ∠ADB=∠CDB DG=GD

，
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
又由（1）知△ABE≌△DCF，
∴∠ABE=∠DCF，
∴∠DAG=∠ABE，
∴∠BAH+∠ABE=∠BAH+∠DAG=90°，
∴∠AHB=90°，
∴H在AB为直径的圆上，如图4，

当点F从点D开始运动到A点时，则H点从A点运动到正方形ABCD对角线的交点，
∴H路径长为以AB为直径的圆周的

1

4

，
∴H运动的路径的长为

1

2

π．

点评：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和弧长的计算的综合应用，在（1）中利用正方形的性质证明全等是解题的关键，在（2）①中确定出只有两种情况是解题的关键，在②中确定出H的运动路线是解题的关键．