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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点( ,0),有下列结论:①abc>0;
②a﹣2b+4c=0; ③25a﹣10b+4c=0; ④3b+2c>0; ⑤a﹣b≥m(am﹣b);
其中所有正确的结论是( )

A.①②③
B.①③④
C.①②③⑤
D.①③⑤

【答案】D
【解析】解:由抛物线的开口向下可得:a<0,

根据抛物线的对称轴在y轴左边可得:a,b同号,所以b<0,

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c>0,

∴abc>0,故①正确;

直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,所以﹣ =﹣1,可得b=2a,

a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c,

∵a<0,

∴﹣3a>0,

∴﹣3a+4c>0,

即a﹣2b+4c>0,故②错误;

∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点( ,0),

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣ ,0),

当x=﹣ 时,y=0,即a(﹣ 2+b×(﹣ )+c=0,

整理得:25a﹣10b+4c=0,故③正确;

∵b=2a,a+b+c<0,

b+b+c<0,

即3b+2c<0,故④错误;

∵x=﹣1时,函数值最大,

∴a﹣b+c>m2a﹣mb+c(m≠﹣1),

∴a﹣b>m(am﹣b),所以⑤正确;

故答案为:D.

由抛物线的开口向下可得:a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左边可得:a,b同号,所以b<0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c>0,得到abc>0;根据根与系数的关系,结合图象向目标去化简,得出结论.

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A.
B.
C.
D.

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