Question

【题目】如图，在等边△ABC中，BD=CE，将线段AE沿AC翻折，得到线段AM，连结EM交AC于点N，连结DM、CM以下说法：①AD=AM，②∠MCA=60°，③CM=2CN，④MA=DM中，正确的有（　　）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由△ABD≌△ACE，△AEC≌△AMC，△ABC是等边三角形可以对①②进行判断，由AC垂直平分EM和直角三角形的性质可对③进行判断，由△ADM是等边三角形，可对④进行判断.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，

∵BD=CE，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，∠BAD=∠EAC，

∵△AEC沿AC翻折得到△AMC，

∴△AEC≌△AMC，

∴AE=AM，∠ECA=∠MCA，

∴AD=AM，∠MCA=60°，故①②正确，

∵△AEC沿AC翻折得到△AMC，

∴AE=AM，EC=CM，

∴点A、C在EM的垂直平分线上，

∴AC垂直平分EM，

∴∠ENC=90°，

∵∠MCA=60°，

∴∠NMC=30°，

∴CM=2CN，故③正确，

∵∠BAD=∠EAC，∠ECA=∠MCA，

∴∠BAD=∠MCA，

∵∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAM=60°，

即∠DAM=60°，又AD=AM，

∴△ADM是等边三角形，

∴MA=DM，故④正确，

综上所述，这四句话都正确，

故选D.