Question

4．如图，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₅在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₅在二次函数$y=\frac{2}{3}{x^2}$位于第一象限的图象上，△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₄B₂₀₁₅A₂₀₁₅都是等边三角形，则△A₂₀₁₄B₂₀₁₅A₂₀₁₅的边长为（　　）

• A． 2014
• B． 2015
• C． $2014\sqrt{3}$
• D． $2015\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过点B₁作B₁C⊥y轴于C，B₂D⊥y轴于D，B₃E⊥y轴于E，如图，利用等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系确定C点坐标，则可得到△A₀B₁A₁△的边长，同样方法得到A₁A₂和A₂A₃的长，利用此规律可判断△A₂₀₁₄B₂₀₁₅A₂₀₁₅的边长．

解答 解：过点B₁作B₁C⊥y轴于C，B₂D⊥y轴于D，B₃E⊥y轴于E，如图，
设OC=t，则B₁C=$\sqrt{3}$，
∴B₁（$\sqrt{3}$t，t），
把B₁（$\sqrt{3}$t，t）代入$y=\frac{2}{3}{x^2}$得t=$\frac{2}{3}$•3t²，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{1}{2}$，
∴A₀A₁=2OC=1，
设A₁D=m，则B₂D=$\sqrt{3}$m，
∴B₂（$\sqrt{3}$m，1+m），
把B₁（$\sqrt{3}$m，1+m）代入$y=\frac{2}{3}{x^2}$得1+m=$\frac{2}{3}$•3m²，解得m₁=-$\frac{1}{2}$（舍去），m₂=1，
∴A₁A₂=2A₁D=2，
同样可得A₂A₃=2A₂E=3，
所以△A₂₀₁₄B₂₀₁₅A₂₀₁₅的边长为2015．
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等边三角形的性质．解决本题的关键是其出A₁、A₂、A₃的坐标，然后利用计算的结果找出规律．