Question

【题目】在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（0，﹣2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，若抛物线y=﹣x2+bx+2经过点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，﹣2）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的正半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以为半径的圆与直线BC相切？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）存在，P（0，2）；（3）存在，点M的坐标为（﹣2，﹣1）或（，）或（，﹣）或（，﹣）

【解析】

（1）根据题意得出△AOB≌△CDA，从而求得OA=CD=1，AD=OB=2，即可求得C的坐标，然后把C的坐标代入抛物线的解析式即可求得b；

（2）将抛物线平移，当顶点至原点时，解析式为y=﹣x2，设EF的解析式为y=kx﹣2（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t），过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．由△PEF的内心在y轴上，得出∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，那么△GEP∽△HFP，根据相似三角形对应边成比例以及根与系数的关系即可求解；

（3）根据B、C坐标根据待定系数法求得解析式，求得直线与x轴的解得坐标，在y轴上去一点K，作KS⊥BC于S，使KS=，易证得△BOG∽△BSK，由对应边成比例求得BK的出，既然求得K的坐标，过K点作BC平行线交抛物线的交点即为M点，求得平行线的解析式，然后和抛物线的解析式联立方程即可求得．

解：（1）如图1，∵点A（1，0）、B（0，﹣2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，

∴AB=AC，∠BAC=90°

连接AB，作CD⊥OD于D，

∴∠AOB=∠CDA=∠BAC=90°，

∴∠OBA＋∠OAB=90°，∠DAC＋∠OAB=90°

∴∠OBA=∠DAC

∴△AOB≌△CDA，

∴OA=CD，AD=OB，

∴C（3，﹣1），

∵抛物线y=﹣x2+bx+2经过点C．

∴﹣1=﹣×9+3b+2，

解得b=，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）将抛物线平移，当顶点至原点时，抛物线为y=﹣x2，设EF的解析式为y=kx﹣2（k≠0）．

假设存在满足题设条件的点P（0，t），

如图2，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．

∵△PEF的内心在y轴上，

∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，

∴△GEP∽△HFP，

∴GP：PH=GE：HF，

∴﹣xE：xF=（t﹣yE）：（t﹣yF）=（t﹣kxE+2）：（t﹣kxF+2），

∴2kxExF=（t+2）（xE+xF），

联立

得x2+2kx﹣4=0，xE、xF是该一元二次方程的解

∴xE+xF=﹣2k，xExF=﹣4，

∴2k（﹣4）=（t+2）（﹣2k），

∵k≠0，

∴t=2，

∴y轴的正半轴上存在点P（0，2），使△PEF的内心在y轴上；

（3）∵B（0，﹣2），C（3，﹣1），

设直线BC的解析式为y=mx﹣2，

∴﹣1=3m﹣2，

∴m=，

∴y=x﹣2，

∴直线BC与x轴的交点G（6，0），

∴OB=2，OG=6，

∴BG==2，在y轴上取一点K，作KS⊥BC于S，使KS=，

∵∠BOG=∠BSK=90°，∠OBG=∠SBK，

∴△BOG∽△BSK，

∴，即，

∴BK=，

∴OK=或，

∴K（0，﹣）或（0，﹣）

作KM∥BC交抛物线与M，

∴直线KM为y=x﹣或y=x﹣，

解

得，，

解

得或，

∴在抛物线上存在一点M，使得以M为圆心，以为半径的圆与直线BC相切，点M的坐标为（﹣2，﹣1）或（，）或（，﹣）或（，﹣）．