【题目】某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:
价格x(元/个) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
销售量y(万个) | … | 5 | 4 | 3 | 2 | … |
同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式.
(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少?
(3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?
【答案】(1) y=x+8
(2) z=x2+10x﹣200,销售价格定为50元/个时净得利润最大,最大值是50万元
(3)40≤x≤60;销售价格应定为40元/个
【解析】
(1)根据数据得出y与x是一次函数关系,进而利用待定系数法求一次函数解析式.
(2)根据z=(x﹣20)y﹣40得出z与x的函数关系式,应用二次函数最值原理求解即可.
(3)首先求出40=(x﹣50)2+50时x的值,从而二次函数的性质根据得出x(元/个)的取值范围,结合一次函数的性质即可求得结果.
解:(1)根据表格中数据可得出:y与x是一次函数关系,设解析式为:y=ax+b,
则,解得:.
∴函数解析式为:y=x+8.
(2)根据题意得:
z=(x﹣20)y﹣40=(x﹣20)(x+8)﹣40=x2+10x﹣200=(x2﹣100x)﹣200
=[(x﹣50)2﹣2500]﹣200=(x﹣50)2+50,
∵<0,∴x=50,z最大=50.
∴该公司销售这种计算器的净得利润z与销售价格x的函数解析式为z=x2+10x﹣200,销售价格定为50元/个时净得利润最大,最大值是50万元.
(3)当公司要求净得利润为40万元时,即(x﹣50)2+50=40,解得:x1=40,x2=60.
作函数图象的草图,
通过观察函数y=(x﹣50)2+50的图象,可知按照公司要求使净得利润不低于40万元,则销售价格的取值范围为:40≤x≤60.
而y与x的函数关系式为:y=x+8,y随x的增大而减少,
∴若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为40元/个.
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【题目】如图:已知在△ABC中,AB=AC,点D是BC上一点,∠ADE=∠B,
(1)求证:△ABD~△DCE;
(2)点F在AD上,且=,求证:EF∥CD.
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【题目】抛物线y=(a2+1)x2+bx+c经过点A(﹣3,t)、B(4,t)两点,则不等式(a2+1)(x-2)2+bx<2b-c+t的解集是_____________________.
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【题目】在矩形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与端点重合).对于任意矩形 ABCD,下面四个结论中:①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形;②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形;③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形;④不存在四边形 MNPQ 是正方形.所有正确结论的序号是_________________ .
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【题目】在平面直角坐标系中 xOy 中,对于⊙C及⊙C内一点 P,给出如下定义:若存在过点 P 的直线 l,使得它与⊙C 相交所截得的弦长为,则称点 P 为⊙C的“k-近内点”.
(1)已知⊙O的半径为 4,
①在点中,⊙O的“4-近内点”是______________;
②点 P 在直线y=x上,若点 P 为⊙O的“4-近内点”,则点 P 的纵坐标y的取值范围是____________;
(2)⊙C的圆心为(-1,0),半径为 3,直线x 轴,y 轴分别交于 M,N,若线段 MN 上存在⊙C的 “2 -近内点”,则 b 的取值范围是____________.
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【题目】△ABC中,CA=CB,AB=,CD⊥AB于点D,CD=5,点O和点E在线段CD上,ED=1,点P在边AB上,以E为圆心,EP为半径的圆与AB边的另一个交点为点Q(点P在点Q的左侧),以O为圆心,OC为半径的圆O恰好经过P、Q两点,联结CP,设线段AP的长度为x.
(1)当圆E恰好经过点O时,求圆E的半径;
(2)联结CQ,设∠PCQ的正切值为y,求y与x的函数关系式及定义域;
(3)若∠PED=3∠PCE,求S△PCQ的值.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠BCD=∠D=90°,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.
(1)设BC=x,CD=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(2)当∠B=70°时,求∠AEC的度数;
(3)当△ACE为直角三角形时,求边BC的长.
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【题目】在如图的直角坐标系中,已知点A(1,0)、B(0,﹣2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,若抛物线y=﹣x2+bx+2经过点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,﹣2)作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点,问在y轴的正半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)在抛物线上是否存在一点M,使得以M为圆心,以为半径的圆与直线BC相切?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知:抛物线交x轴于A,C两点,交y轴于点B,且OB=2CO.
(1)求二次函数解析式;
(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;
(3) 抛物线对称轴上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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