Question

【题目】△ABC中，CA＝CB，AB＝，CD⊥AB于点D，CD＝5，点O和点E在线段CD上，ED＝1，点P在边AB上，以E为圆心，EP为半径的圆与AB边的另一个交点为点Q（点P在点Q的左侧），以O为圆心，OC为半径的圆O恰好经过P、Q两点，联结CP，设线段AP的长度为x．

（1）当圆E恰好经过点O时，求圆E的半径；

（2）联结CQ，设∠PCQ的正切值为y，求y与x的函数关系式及定义域；

（3）若∠PED＝3∠PCE，求S△PCQ的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣5；（2）y＝ （＜x＜）；（3）

【解析】

（1）连接OP，设⊙E的半径为r，根据OP2﹣OD2＝PE2﹣DE2列出方程即可求出结论；

（2）连接OQ，根据等边对等角可得∠OCQ＝∠OQC，然后即可证出∠PCQ＝∠DOQ，根据勾股定理即可推出m和x的关系，最后根据锐角三角函数即可求出y与x的函数关系式；

（3）连接CQ，OP，过点O作OH⊥CP于H，作CG⊥PE于G，根据相似三角形判定分别证出△EPO∽△ECP，△CHO∽△CDP，设OC＝OP＝m，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出m的值，从而求出PQ和CD，即可求出结论．

解：（1）如图1，连接OP，设⊙E的半径为r，则PE＝OE＝r，OP＝OC＝4﹣r，OD＝r+1，

∵CD⊥AB，

∴OP2﹣OD2＝PE2﹣DE2，

即（4﹣r）2﹣（r+1）2＝r2﹣12，

解得（舍去），，

∴圆E的半径r＝﹣5．

（2）如图2，连接OQ，

∵OQ＝OC，

∴∠OCQ＝∠OQC

∵∠DOQ＝∠OCQ+∠OQC

∴∠DOQ＝2∠OCQ

∵∠PCD＝∠QCD

∴∠PCQ＝2∠QCD

∴∠PCQ＝∠DOQ

设OC＝OQ＝m，则OD＝5﹣m，

由勾股定理得DQ2＝m2﹣（5﹣m）2＝10m﹣25，

由题知：AP＝x，

∴DQ＝﹣x，

∴OD＝5﹣m＝﹣，

∴y＝tan∠PCQ＝tan∠DOQ＝＝＝

∵

∴＜x＜，

∴y与x的函数关系式为 y＝（＜x＜）．

（3）如图3，连接CQ，OP，过点O作OH⊥CP于H，作CG⊥PE于G，

∵OC＝OP，

∴∠PCE＝∠OPC，CH＝CP

∵∠PED＝3∠PCE，

∴∠OPE＝∠OPC＝∠PCE，

∴△EPO∽△ECP，OH＝OG，

设OC＝OP＝m，

∵∠CHO＝∠CDP＝90°，

∴△CHO∽△CDP

∴，即

∴CP2＝10m，CP＝，PD2＝10m﹣25，PE2＝10m﹣24，

∵，

即

∴，

解得：m1＝0（舍去），，

∴PD＝＝，PQ＝2PD＝

∴＝．