Question

7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（1，4），点A在第二象限，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A，则k的值是（　　）

• A． -2
• B． -4
• C． -$\frac{15}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD=OE，OD=CE，设A（x，$\frac{k}{x}$），则C（$\frac{k}{x}$，-x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，根据直线OB的解析式设出直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$x+b，代入交点坐标求得解析式，然后把A，C的坐标代入即可求得k的值．

解答 解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠COE}\\{∠ADO=∠OEC=90°}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴AD=OE，OD=CE，
设A（x，$\frac{k}{x}$），则C（$\frac{k}{x}$，-x），
∵点B的坐标为（1，4），
∴OB=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
直线OB为：y=4x，
∵AC和OB互相垂直平分，
∴它们的交点F的坐标为（$\frac{1}{2}$，2），
设直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$x+b，
代入（$\frac{1}{2}$，2）得，2=-$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$+b，解得b=$\frac{17}{8}$，
直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{17}{8}$，
把A（x，$\frac{k}{x}$），C（$\frac{k}{x}$，-x）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{x}=-\frac{1}{4}x+\frac{17}{8}}\\{-x=-\frac{k}{4x}+\frac{17}{8}}\end{array}\right.$，解得k=-$\frac{15}{4}$．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，正方形的性质，三角形求得的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．