Question

【题目】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】2

【解析】

先利用勾股定理计算出BC=5，再根据切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，则可判断四边形BEOD为正方形，得到BD=BE=OD，设⊙O的半径为r，则BE=BD=r，AD=AB-BD=12-r，CE=BC-BE=5-r，然后利用切线长定理得到AF=AD=12-r，CF=CE=5-r，于是12-r+5-r=13，再解关于r的方程即可．

解：在Rt△ABC中，∵AC=13，AB=12，

∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC分别切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴四边形BEOD为正方形，
∴BD=BE=OD，
设⊙O的半径为r，则BE=BD=r，AD=AB-BD=12-r，CE=BC-BE=5-r，
∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别切于点D、E、F，
∴AF=AD=12-r，CF=CE=5-r，
∴12-r+5-r=13，
解得r=2，
即⊙O的半径长为2．