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【题目】ABC,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转,旋转角为0 180 ,得到 ABC

1)求当角为多少度时, CBD 是等腰三角形;

2)如图②,连接 AA, BB ,设 ACA , BCB 的面积分别为 S1 , S2 ,求的值;

3)如图③,设 AC 的中点为 E AB 的中点为 PAC=a,连接 EP,当旋转角为多少时,EP 长度最大,并求出 EP 的最大值;

【答案】1θ;(2;(3

【解析】

1)分三种情况讨论,由等腰三角形的性质可求解;
2)通过证明A'CA∽△B'CB,可得

3)由直角三角形的性质可求,由三角形三边关系可得EC+CP≥EP,即当点PEC的延长线上时,EP有最大值,由旋转的性质可求旋转角的度数.

解:(1)∵将ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θθ180°),得到A′B′C
∴∠ABC=A'B'C=30°,∠ACA'=BCB'=θ
∵△CB'D是等腰三角形,
①当CD=B'D时,
∴∠BCB'=A'B'C=30°=θ
②当CB'=CD时,
∴∠CB'A'=CDB'=30°
∴∠BCB'=120°=θ
③当B'C=B'D,且∠A'B'C=30°
∴∠B'CD=B'DC=75°
综上所述:当θ=30°120°75°时,CB'D是等腰三角形;
2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°
tanABC=

∵将ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θθ180°),得到A′B′C
AC=A'CBC=B'C,∠ACA'=BCB'

,且∠ACA'=BCB'
∴△A'CA∽△B'CB

3)如图3,连接CP

∵∠ACB=90°,∠ABC=30°AC=a
AB=2a
∵将ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θθ180°),得到A′B′C
A'B=AB=2a
AC的中点为EA′B′的中点为P
EC=CP=A'B=a
∵在ECP中,EC+CP≥EP
∴当点PEC的延长线上时,EP有最大值,
EP最大值=EC+CP=

CP=A'C=A'P=a
∴∠A'CP=60°
当点PEC的延长线上时,θ=ACA'=180°-A'CP=120°

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