Question

【题目】如图①，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边BC的中点，射线DE⊥BC交AB于点E．点P从点D出发，沿射线DE以每秒1个单位长度的速度运动．以PD为斜边，在射线DE的右侧作等腰直角△DPQ．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示线段EP的长．

（2）求点Q落在边AC上时t的值．

（3）当点Q在△ABC内部时，设△PDQ和△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）当点P在线段DE上时，EP =3-t；当点P在DE的延长线上时，EP= t-3；（2）t=8s；（3）S=

【解析】

（1）分两种情况进行讨论：点P在线段DE上，点P在DE的延长线上，根据线段的和差关系进行计算；

（2）当点Q落在边AC上时，过点Q作QF⊥DP于F，根据四边形CDFQ是矩形，△DPQ是等腰直角三角形，求得DP＝2FQ＝8，即可得到t的值；

（3）分两种情况进行讨论：①当点P在线段DE上时，△PDQ和△ABC重叠部分为△DPQ，②当点P在线段DE的延长线上时，△PDQ和△ABC重叠部分为四边形EDQG，分别求得S与t之间的函数关系式．

解：（1）由题可得，DP=t，DE=AC=3，

当点P在线段DE上时，EP=DE-DP=3-t；

当点P在DE的延长线上时，EP=DP-DE=t-3；

（2）如图所示，当点Q落在边AC上时，过点Q作QF⊥DP于F，

∵∠C=∠CDF=∠DFQ=90°，

∴四边形CDFQ是矩形，

∴FQ=CD=BC=4，

∵△DPQ是等腰直角三角形，

∴DP=2FQ=8，

∴t==8（s）；

（3）①当点P在线段DE上时，△PDQ和△ABC重叠部分为△DPQ，且DP=t，DP边上的高为t，

∵点P从点D运动到点E处时，时间为3s，

∴当0＜t≤3时，S=×t×t=，

②当点P在线段DE的延长线上时，△PDQ和△ABC重叠部分为四边形EDQG，

如图所示，过G作GF⊥PE于F，则△GFE∽△BCA，且PF=GF，

∵AC=6，BC=8，

∴EF：FG=3：4，EF：FP=3：4，

∵PE=t-3，

∴FG=（t-3），

∴△PEG的面积=×PE×FG=×（t-3）2，

由（2）可知，点Q落在边AC上时，t的值为8s，

∴当3≤t＜8时，S=t2-×（t-3）2=．

综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=．