Question

【题目】定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

运用：如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点

（1）C（4，），D（4，），E（4，），哪个点是点A，B关于直线x＝4的“等角点”；

（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的“等角点”，其中m＞2，∠APB＝α，求证：tan．

Answer 1

【答案】（1）点C；（2）见解析

【解析】

（1）点B关于直线x＝4的对称点为B′（10，），由待定系数法求出直线AB′的解析式为y＝﹣x+，当x＝4时，y＝，即可得出结果；

（2）过点A作直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，由点A和A′关于直线l对称，得出∠APG＝∠A′PG，证明△AGP∽△BHP，得出＝，求出m＝，由∠APB＝α，AP＝A′P，得出∠A＝∠A′＝，在Rt△AGP中，tan＝＝＝＝．

（1）解：点B关于直线x＝4的对称点为B′（10，﹣），

设直线AB′的解析式为：y＝kx+b，

则，

解得：，

∴直线AB′的解析式为：y＝﹣x+，

当x＝4时，y＝，

∴点C（4，）是点A，B关于直线x＝4的“等角点”；

（）证明：过点A作直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，如图所示：

∵点A和A′关于直线l对称，

∴∠APG＝∠A′PG，

∵∠BPH＝∠A′PG，

∴∠APG＝∠BPH，

∵∠AGP＝∠BHP＝90°，

∴△AGP∽△BHP，

∴＝，

即：＝，

∴mn＝2，

∴m＝，

∵∠APB＝α，AP＝A′P，

∴∠A＝∠A′＝，

在Rt△AGP中，tan＝＝＝＝．