Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）如果∠B=60°，BC=2，求四边形AECD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）直接利用平行四边形的判定方法得出四边形AECD是平行四边形，再利用直角三角形的性质得出CD=AD，即可得出四边形AECD是菱形；

（2）利用菱形的性质和平行四边形的性质得出AC，ED的长，进而得出菱形面积．

（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD=AD，

∴四边形AECD是菱形；

（2）解：连接DE．

∵∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠BAC=30°

∴AB=4，AC=2，

∵四边形AECD是菱形，

∴EC=AD=DB，

又∵EC∥DB

∴四边形ECBD是平行四边形，

∴ED=CB=2，

∴S菱形AECD=×AC×ED=2．