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【题目】如图,ABC中,∠BAC=90度,AB=ACBD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CEBA的延长线于F.求证:BD=2CE

【答案】见解析。

【解析】

求出∠FBE=CBE,∠BEF=BEC=90°,根据ASA可证明Rt△BEFRt△BEC,即可得CF=2CE,由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=ACB=45°,根据BD是∠ABC的平分线可得∠F=ADB=67.5°,通过AAS可证明△ABD≌△ACF,根据全等三角形性质可得BD=CF,即可证明BD=2CE

BD是∠ABC的平分线,

∴∠FBE=CBE

BECF

∴∠BEF=BEC=90°

RtBEFRtBEC中,

RtBEFRtBECASA).

CE=EF

CF=2CE

∵∠BAC=90°,且AB=AC

∴∠FAC=BAC=90°,∠ABC=ACB=45°

BD是∠ABC的平分线,

∴∠FBE=CBE=22.5°

∴∠F=90°-22.5°=67.5°,∠ADB=90°-22.5°=67.5°

∴∠F=ADB

ABDACF中,

∴△ABD≌△ACFAAS),

BD=CF

CF=2CE

BD=2CE

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