Question

如图，在直角坐标系中，以A（

3

，0）为圆心，以2

3

为半径⊙A与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点．
（1）若抛物线y=

1

3

x²+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（2）判断点B是否在（1）中抛物线上，并画出（1）抛物线草图；
（3）设M为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在第一象限内抛物线上是否存在这样点P，使得四边形CBMP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由条件可知AC=AB=2

3

，OA=BO=

3

，在Rt△AOD中可求得OD=OE=3，可得出C、D坐标，代入可求得b和c，可求得解析式；
（2）把B点坐标代入验证即可，再利用描点法画图；
（3）假设存在，设P点坐标为（t，s），当PM∥BC时，则PM=BC=4

3

，而PM=|t-

3

|可求得t的值，代入抛物线解析式可求得P点坐标，当BM∥PC时，则A为PM的中点，则P点只能在对称轴上，即P为抛物线的顶点．

解答：解：（1）如图1，连接AD，则AC=AD=AB=2

3

，

∵A（

3

，0），
∴AO=BO=

3

，
在Rt△OAD中，由勾股定理可求得OD=3，
且OC=3

3

，
∴C（3

3

，0），D（0，-3），
代入y=

1

3

x²+bx+c可求得c=-3，b=-

2 3

3

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；
（2）由（1）可知B点坐标为（-

3

，0），满足y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，
∴B点在抛物线上，
由y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3可知该二次函数开口向上，对称轴方程为x=

3

，与x轴的交点坐标为（-

3

，0）和（3

3

，0），与y轴的交点坐标为（0，-3），顶点坐标为（

3

，-4），
利用描点法可画出其函数图象，如图2；

（3）假设存在，设P点坐标为（t，s），
由（1）可求得BC=4

3

，
当PM∥BC时，则PM=BC=4

3

如图3，过P作PN⊥BC，交x轴于点N，

则AN=ON-OA=|t-

3

|，
又ON=PM=4

3

，即|t-

3

|=4

3

，解得t=5

3

或t=-3

3

，
代入y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3可求得s=12，
∴P点坐标为（-3

3

，12）或（5

3

，12）；
当BM∥PC时，则MP为对称线，必过BC的中点A，则P点在对称轴上，
∴P为二次函数的顶点，其坐标为（

3

，-4）；
综上可知存在使得四边形CBMP是平行四边形的P点，其坐标为（-3

3

，12）或（5

3

，12）或（

3

，-4）．

点评：本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和垂径定理、平行四边形的性质等知识的综合应用，利用待定系数法求解析式时关键是求出点的坐标，在（3）中确定出点P可能出现的位置是解题的关键，注意方程思想的应用．