Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，点P是△ABD的内切圆的圆心，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，则四边形PECF和矩形ABCD的面积之比等于（　　）

A.1：2B.2：3C.3：4D.无法确定

Answer 1

【答案】A

【解析】

延长EP交AD于M，延长FP交AB于N，设AD＝a，AB＝b，BD＝c，⊙P的半径为r，利用平行线的性质得到PM⊥AD，PN⊥AB，再根据切线长定理得到PM＝PN＝r，根据直角三角形的内切圆半径的计算方法得到r＝，所以PEPF＝

，利用完全平方公式和平方差公式得到PEPF＝ab，然后计算四边形PECF和矩形ABCD的面积之比．

解：延长EP交AD于M，延长FP交AB于N，如图，设AD＝a，AB＝b，BD＝c，⊙P的半径为r，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴PM⊥AD，PN⊥AB，

∵点P是△ABD的内切圆的圆心

∴PM＝PN＝r，

∴r＝，

∴PF＝a﹣＝，PE＝b﹣＝，

∴PEPF＝

＝＝，

而a2+b2＝c2，

∴PEPF＝＝ab，

∴四边形PECF和矩形ABCD的面积之比＝ab：ab＝1：2．

故选：A．