Question

【题目】自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．

(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？

(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．

Answer 1

【答案】（1）一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元；（2）80≤m≤125；（3）m＝80时，最大利润为(18 300－80a)元．

【解析】试题（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；

（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；

（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．

试题解析：解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．

由题意：，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解．

答：一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元．

（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．

由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，∴v=10m+17500（80≤m≤125）；

（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500：

①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．

②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．

③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元，∴当a＜10时，最大利润为（18750﹣125a）元；当a=10时，最大利润为17500元；当a＞10时，最大利润为（18300﹣80a）元．