【题目】如图,抛物线与直线分别相交于,两点,且此抛物线与轴的一个交点为,连接,.已知,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线对称轴上找一点,使的值最大,并求出这个最大值;
(3)点为轴右侧抛物线上一动点,连接,过点作交轴于点,问:是否存在点使得以,,为顶点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)点M的坐标为(,)时,取最大值为;(3)存在点.
【解析】
(1)根据待定系数法求解即可;
(2)根据三角形的三边关系可知:当点、、三点共线时,可使的值最大,据此求解即可;
(3)先求得,再过点作于点,过点作轴于点,如图,这样就把以,,为顶点的三角形与相似问题转化为以,,为顶点的三角形与相似的问题,再分当时与时两种情况,分别求解即可.
解:(1)将,代入得:
,解得:,
∴抛物线的解析式是;
(2)解方程组:,得,,
∵,∴
当点、、三点不共线时,根据三角形三边关系得,
当点、、三点共线时,,
∴当点、、三点共线时,取最大值,即为的长,
如图,过点作BE⊥x轴于点,则在中,由勾股定理得:,∴取最大值为;
易求得直线BC的解析式为:y=-x-3,抛物线的对称轴是直线,当时,,∴点M的坐标为(,);
∴点M的坐标为(,)时,取最大值为;
(3)存在点,使得以、、为顶点的三角形与相似.
设点坐标为,
在中,∵,∴,
在中,∵,∴,
∴,,
过点作于点,过点作轴于点,如图,
∵,,∴∽,
∵,
∴①当时,∽,
∴,解得,,(舍去)
∴点的纵坐标为,∴点为;
②当时,∽,
∴,解得(舍去),(舍去),
∴此时无符合条件的点;
综上所述,存在点.
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【题目】材料阅读:
类比是数学中常用的数学思想.比如,我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法,得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法.
理解应用:
(1)请仿照上面的竖式方法计算:;
(2)已知两个多项式的和为,其中一个多项式为.请用竖式的方法求出另一个多项式.
(3)已知一个长为,宽为的矩形,将它的长增加8.宽增加得到一个新矩形,且矩形的周长是周长的3倍(如图).同时,矩形的面积和另一个一边长为的矩形的面积相等,求的值和矩形的另一边长.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:直线DF是⊙O的切线;
(2)求证:BC2=4CFAC;
(3)若⊙O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.
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【题目】在“停课不停学”期间,小明用电脑在线上课,图1是他的电脑液晶显示器的侧面图,显示屏AB可以绕O点旋转一定角度.研究表明:当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上,且望向显示器屏幕形成一个18°俯角(即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP)时,对保护眼睛比较好,而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时(如图2)时,观看屏幕最舒适,此时测得∠BCD=30°,∠APE=90°,液晶显示屏的宽AB为32cm.
(1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE;(结果精确到1cm)
(2)求显示屏顶端A与底座C的距离AC.(结果精确到1cm)(参考数据:sin18°≈0.3,cos18°≈0.9,tan18°≈0.3,≈1.4,≈1.7)
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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1 ,
其中正确的是________.
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【题目】甲、乙两地相距一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地,慢车先行驶1小时后,快车才开始行驶.已知快车的速度是以快车开始行驶计时,设时间为, 两车之间的距离为,图中的折线是与的函数关系的部分图象,根据图象解决以下问题:
(1)慢车的速度是_ _,点的坐标是_ _;
(2)线段所表示的与之间的函数关系式是_ ;
(3)试在图中补全点以后的图象.
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【题目】已知网格的小正方形的边长均为1,格点三角形ABC如图所示,请用没有刻度的直尺画出满足条件的图形
(1)在甲图中,画出△,且相似比为2:1,各顶点都在格点上.
(2)在乙图中,把线段AB三等分.
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【题目】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为 1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为( )
A.13B.24C.26D.28
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC.
(1)求作直线EF使得EF交AD于点E,交BC于点F且使得EA=EC,FA=FC(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)连接AF、CE,判断四边形AFCE的形状,并说明理由.
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