Question

14．如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S_△CDN=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABDN}；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=$\frac{1}{2}AB$；然后判断出EM=$\frac{1}{2}AB$，即可判断出EM=DN；
②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN=$\frac{1}{2}AB$，可得S_△CDN=$\frac{1}{4}$S_△ABC，所以S_△CDN=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABDN}，据此判断即可．
③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF．
④首先判断出$\frac{EM}{EA}=sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF．

解答 解：∵D是BC中点，N是AC中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，且DN=$\frac{1}{2}AB$；
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，
∴M是AB的中点，
∴EM=$\frac{1}{2}AB$，
又∵DN=$\frac{1}{2}AB$，
∴EM=DN，
∴结论①正确；

∵DN∥AB，
∴△CDN∽ABC，
∵DN=$\frac{1}{2}AB$，
∴S_△CDN=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△CDN=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABDN}，
∴结论②正确；

如图1，连接MD、FN，，
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}AC$；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴FN=$\frac{1}{2}AC$，
又∵DM=$\frac{1}{2}AC$，
∴DM=FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∴∠AMD=∠AND，
又∵∠EMA=∠FNA=90°，
∴∠EMD=∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=DN}\\{∠EMD=∠DNF}\\{MD=NF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△DNF，
∴DE=DF，
∴结论③正确；

如图2，连接MD，EF，NF，，
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
∴M是AB的中点，EM⊥AB，
∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，
∴$\frac{EM}{EA}=sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}AC$；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴FN=$\frac{1}{2}AC$，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，
又∵DM=$\frac{1}{2}AC$，
∴DM=FN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FA，
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，
∠EAF=360°-∠EAM-∠FAN-∠BAC
=360°-45°-45°-（180°-∠AMD）
=90°+∠AMD
∴∠EMD=∠EAF，
在△EMD和△∠EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{EM}{EA}=\frac{DM}{FA}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{∠EMD=∠EAF}\end{array}\right.$
∴△EMD∽△∠EAF，
∴∠MED=∠AEF，
∵∠MED+∠AED=45°，
∴∠AED+∠AEF=45°，
即∠DEF=45°，
又∵DE=DF，
∴∠DFE=45°，
∴∠EDF=180°-45°-45°=90°，
∴DE⊥DF，
∴结论④正确．
∴正确的结论有4个：①②③④．
故选：D．

点评 （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．
（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．