Question

5．为迎接国际动漫节，某商家计划从厂家采购A，B两种类型的cosplay服装共20件，衣服的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．

采购数量（件）	1	2	…
A产品单价（元/件）	250	230	…
B产品单价（元/件）	130	120	…

（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y₁（元/件），求y₁与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的$\frac{1}{3}$，且A产品采购单价不低于100元，求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以300元/件和150元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．

Answer 1

分析 （1）设y₁与x的关系式y₁=kx+b，利用待定系数法，求出k和b的值，函数关系式即可求出；
（2）首先根据题意列出不等式组，求出x的取值范围，结合x为整数，即可判断出商家的几种进货方案；
（3）分别计算出两种方案的利润，即可解答．

解答 解：（1）y₁与x的关系式y₁=kx+b，
把（1，250），（2，230）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=250}\\{2k+b=230}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-20}\\{b=270}\end{array}\right.$
∴y₁=-20x+270．
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{3}（20-x）}\\{-20x+270≥100}\end{array}\right.$
解得5≤x≤8.5，
又∵A、B产品得单价要大于零，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-20x+270＞0}\\{-10（20-x）+140＞0}\end{array}\right.$
解得：6＜x＜13.5，
综合得6＜x≤8.5，
答：有两种进货方案：A产品7件，B产品13件或者A产品8件，B产品12件．
（3）当x=7时，总利润=7×（300-130）+13×（150-10）=3010，
当x=8时，总利润=8×（300-110）+12×（150-20）=3080
当x=8时，利润最大，最大利润为3080元．

点评 本题考查了一元一次不等式组及一次函数的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式是解题的关键．