Question

7．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{7}$，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm²，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为$\frac{50}{3}$cm．

Answer 1

分析 首先取CD的中点G，连接HG，设AB=6acm，则BC=7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm；然后根据GH∥BC，可得x=3.5a-2；再根据上下两个阴影三角形的面积之和为54cm²，可得a（7a-x）=18，据此求出a、x的值各是多少；最后根据AM∥FC，求出HK的长度，再用HK的长度乘以4，求出该菱形的周长为多少即可．

解答 解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，，
设AB=6acm，则BC=7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm，
∵BC=7acm，MN=EF=4cm，
∴CN=$\frac{7a+4}{2}$，
∵GH∥BC，
∴$\frac{GH}{CN}=\frac{DG}{DC}$，
∴$\frac{\frac{7a-x}{2}}{\frac{7a+4}{2}}=\frac{1}{2}$，
∴x=3.5a-2…（1）；
∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm²，
∴6a•（7a-x）÷2=54，
∴a（7a-x）=18…（2）；
由（1）（2），可得
a=2，x=5，
∴CD=6×2=12（cm），CN=$\frac{7a+4}{2}=\frac{7×2+4}{2}=9（cm）$，
∴DN=$\sqrt{{12}^{2}{+9}^{2}}$=15（cm），
又∵DH=$\sqrt{{DG}^{2}{+GH}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+（\frac{7×2-5}{2}）}^{2}}$=7.5（cm），
∴HN=15-7.5=7.5（cm），
∵AM∥FC，
∴$\frac{KN}{HK}=\frac{MN}{CM}$=$\frac{4}{9-4}=\frac{4}{5}$，
∴HK=$\frac{5}{4+5}×7.5=\frac{25}{6}（cm）$，
∴该菱形的周长为：
$\frac{25}{6}×4$=$\frac{50}{3}$（cm）．
故答案为：$\frac{50}{3}$．

点评 （1）此题主要考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）此题还考查了矩形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．