Question

【题目】如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝2．

【解析】

（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE＝OC，依据切线的判定可得；

（2）先求得∠EOA＝∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8，AB=10，由切线长定理知BE=BC=6，AE=4，OE=3，继而得BO=3，根据相似三角形的性质即可得出结论.

解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，

∵O为∠MBN角平分线上一点，

∴∠ABD＝∠CBD，

又∵BC为⊙O的切线，

∴AC⊥BC，

∵AD⊥BO于点D，

∴∠D＝90°，

∴∠BCO＝∠D＝90°，

∵∠BOC＝∠AOD，

∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，

∵∠AOD＝∠BAD，

∴∠ABD＝∠OAD，

∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，

在△BOC和△BOE中，

∵，

∴△BOC≌△BOE（AAS），

∴OE＝OC，

∵OE⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，

∴∠EOA＝∠ABC，

∵tan∠ABC＝、BC＝6，

∴AC＝BCtan∠ABC＝8，

则AB＝10，

由（1）知BE＝BC＝6，

∴AE＝4，

∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，

∴，

∴OE＝3，OB＝＝3，

∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，

∴△ABD∽△OBC，

∴，即，

∴AD＝2．

故答案为：AD＝2．