Question

【题目】如图，四边形 ABCD 中，AE，DF 分别是∠BAD，∠ADC 的平分线，且 AE⊥DF 于点 O ． 延长 DF 交 AB 的延长线于点 M ．

（1）求证：AB∥DC ；

（2）若∠MBC=120°，∠BAD=108°，求∠C，∠DFE 的度数．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）∠C＝120°，∠DFE＝24°

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠DAB＝2∠EAB，∠ADC＝2∠ADF，根据垂直的定义可得∠AOD＝90°，即∠DAE+∠ADF＝90°，从而可得∠BAD+∠ADC＝2（∠DAE+∠ADF）＝180°，即可得证；

（2）由AB∥DC可得∠C＝∠MBC，从而得出∠ADC＝72°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和公式解答即可．

解：（1）证明：∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，

∴∠DAB＝2∠EAB，∠ADC＝2∠ADF，

∵AE⊥DF，

∴∠AOD＝90°．

∴∠DAE+∠ADF＝90°，

∴∠BAD+∠ADC＝2（∠DAE+∠ADF）＝180°，

∴AB∥DC；

（2）∵AB∥DC，

∴∠C＝∠MBC．

∵∠MBC＝120°，

∴∠C＝120°，

∵∠BAD＝108°，

∴∠ADC＝72°，

∴，

∴∠DFE＝180°﹣（∠C+∠CDF）＝24°．