【题目】如图,已知抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B,点A在点B的左边,且B(3,0),AB=2
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)如果抛物线的对称轴上存在一点P,使得△APC的周长最小,求此时P点的坐标,并求出△APC周长;
(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标.
【答案】(1) y=﹣4x+3 ;(2) 点P(2,1)时,△APC的周长最小,最小值为
;(3) (0,3)或(4,3)或(2,﹣1).
【解析】
试题分析:(1)先求出点A的坐标,根据两点式设出抛物线解析式,用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)由点A,B关于抛物线对称轴对称,所以连接BC与抛物线对称轴的交点就是点P,根据两点间的距离公式求出各线段,即可;
(3)①AB为平行四边形的边时,就有AB∥DE,AB=DE,设出点D坐标,表示出点E坐标,由AB=DE求出点D坐标;
②AB为平行四边形的对角线时,AB,DE互相平分,而点E在抛物线对称轴上,得出点D也在抛物线对称轴上,即点D就是抛物线的顶点.
试题解析:(1)∵抛物线与x轴交于点A、B,点A在点B的左边,且B(3,0),AB=2,
∴A(1,0),
设抛物线解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),
∵点C在抛物线上,
∴3=a×(﹣1)×(﹣3)=3a,
∴a=1,
∴抛物线解析式为y=(x﹣1)(x﹣3)=﹣4x+3,
(2)如图1,
由(1)有,抛物线解析式为y=(x﹣1)(x﹣3)=﹣4x+3,
∴抛物线的对称轴为x=2,
连接BC,交对称轴于点P,连接AP,
∵点A与点B关于对称轴对称,
∴点P就是使得△APC的周长最小时,对称轴上的点,即:PA=PB,
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线BC解析式为y=﹣x+3,BC=,
当x=2时,y=1,
∴P(2,1),
∵A(1,0),
∴AP=,
∴△APC周长=AC+AP+CP=AC+BC=+
=
,
即:点P(2,1)时,△APC的周长最小,最小值为;
(3)∵以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形,
∴分AB为对角线和边两种情况计算,
①当AB为平行四边形的边时,AB∥DE,AB=DE,
∵点D在抛物线上,
∴设点D(m,﹣4m+3),
∵点E在抛物线对称轴x=2上,
∴点E(2,﹣4m+3),
∵DE∥AB,
∴DE=|m﹣2|,
∵AB=DE,AB=2,
∴|m﹣2|=2,
∴m=0,或m=4,
∴D(0,3)或(4,3),
②当AB为平行四边形的对角线时,AB与DE互相平分,
∵点E在抛物线对称轴上,
∴点D也在抛物线的对称轴上,
即:点D就是抛物线的顶点,
由(1)得,抛物线解析式为y=(x﹣1)(x﹣3),
∴抛物线顶点坐标为(2,﹣1),
∴满足条件的点D的坐标为(0,3)或(4,3)或(2,﹣1).
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,弦ED⊥AB于点F,点C是劣弧AD上的动点(不与点A、D重合),连接BC交ED于点G.过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P.
(1)求证:PC=PG;
(2)当点G是BC的中点时,求证:;
(3)已知⊙O的半径为5,在满足(2)的条件时,点O到BC的距离为,求此时△CGP的面积.
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【题目】今年春节新型冠状病毒来势汹汹,截至1月27日,宁波市财政已经安排9270万元用于疫情防控.其中9270万元用科学记数法表示为( )
A.9.27×103元B.9270×104元C.9.27×107元D.9.27×108元
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“六一”儿童节前夕,某幼儿园准备购买彩纸和拼图两种玩具,已知购买1盒彩纸和2盒拼图共需50元,购买2盒彩纸和3盒拼图共需80元.
(1)一盒彩纸和一盒拼图的价格各是多少元?
(2)该幼儿园准备购买这两种玩具共50盒(要求毎种产品都要购买),且购买总金额不能超过850元,至少购买彩纸多少盒?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】李老师对她所教学生的学习兴趣进行了一次抽样调查,她把学生的学习兴趣分为三个层次:很感兴趣;较感兴趣和不感兴趣;并将调查结果绘制成了图①和图②的统计图(不完整).请你根据图中提供的信息,帮助李老师解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)补全条形统计图,并在扇形统计图中填上百分数;
(3)求图②中表示“不感兴趣”部分的扇形所对的圆心角;
(4)根据抽样调查的结果,请你估计李老师所在的学校800名学生中大约有多少名学生对学习感兴趣(包括“很感兴趣”和“较感兴趣”).
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