Question

2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=7：5，BC=3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由OA=OD得∠A=∠ODA，再由∠CBD+∠CDB=90°，∠A=∠CBD可得∠ODA+∠CDB=90°，即∠ODB=90°，于是根据切线的判定定理可判断BD为⊙O的切线；
（2）连结DE，如图，根据圆周角定理，由AE为直径得到∠ADE=90°，设AD=7t，AO=5t，AE=10t，得出AD：AE=7：10，接着证明△ADE∽△BCD得到，则利用比例性质得，得出BC：BD=AD：AE，可计算出BD．

解答 （1）证明：连接OD，
∵∠CBD=∠A，∠A=∠ADO，
∴∠CBD=∠ADO，
∵∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD与⊙O相切；
（2）解：∵AD：AO=7：5，
∴AD：AE=7：10，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠CBD=∠ADO，
∴△ADE∽△BCD，
∴BC：BD=AD：AE，
∴BC：BD=7：10，
∵BC=3，
∴BD=$\frac{30}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质．