Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，点A，B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A，B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．
（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．
①当a=1、d=﹣1时，求k的值；
②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；
（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）点A，B的位置随着a的变化而变化，设点A，B运动的路线与y轴分别相交于点C，D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，

所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6．

∵a=1，

∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，

把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，

∴A（1，6），B（3，0）．

将点A和点B的坐标代入直线的解析式得： ，解得： ，

所以k的值为﹣3．

②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），

∴当x=a时，y=﹣（a﹣m）（a+2）；当x=a+2时，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），

∵y1随着x的增大而减小，且a＜a+2，

∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，

又∵2a﹣m=d，

∴d的取值范围为d＞﹣4．

（2）解：∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，

∴m=2a+4．

∴二次函数的关系式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．

把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．

把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．

∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．

∵点A、点B的纵坐标相同，

∴AB∥x轴．

（3）解：线段CD的长度不变．

∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m过点A、点B，2a﹣m=d，

∴y=﹣x2+（2a﹣d﹣2）x+2（2a﹣d）．

∴yA=﹣a2+（2﹣d）a﹣2d，yB=a2+（2﹣d）a﹣4d﹣8．

∵把a=0代入yA=﹣a2+（2﹣d）a﹣2d，得：y=﹣2d，

∴C（0，﹣2d）．

∵点D在y轴上，即a+2=0，

∴a=﹣2，．

把a=﹣2代入yB=a2+（2﹣d）a﹣4d﹣8得：y=﹣2d﹣8．

∴D（0，﹣2d﹣8）．

∴DC=|﹣2d﹣（﹣2d﹣8）|=8．

∴线段CD的长度不变．

【解析】（1）当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，代入抛物线解析式算出A、B坐标，再代入直线解析式即可；（2）由A、B在抛物线上，得出A、B的含参数a 坐标，纵坐标相同，可判断与x轴平行；（3）分别用a 代数式表示C、D坐标，纵坐标的差是常数8，说明不变.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数关系式和确定一次函数的表达式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．