Question

【题目】如图1，△ABC中，AC＝，∠ACB＝45°，tanB＝3，过点A作BC的平行线，与过C且垂直于BC的直线交于点D，一个动点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向运动，过点P作PE⊥BC，交折线BA－AD于点E，以PE为斜边向右作等腰直角三角形PEF，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当点F恰好落在CD上时，此时t的值为 ；

（2）若P与C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形PEF与四边形ABCD重叠部分的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）如图2，在点P开始运动时，BC上另一点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度沿CB方向运动，当Q到达B点时停止运动，同时点P也停止运动，过Q作QM⊥BC交射线CA于点M，以QM为斜边向左作等腰直角三角形QMN，若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一直线上，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）7.5；（2） ；（3）2、4、

【解析】

（1）当点F落在CD上时，如图1所示，可知△DEF、△PCF均为等腰直角三角形，利用几何图形性质求出的长，进而 求出t的值；

（2）点P的运动过程，可分为三种情形，在点P运动过程中： ①当0≤t＜3时，如图2-1，利用锐角三角函数求解 的长，直接利用面积公式写函数关系式，当3≤t＜时，如图2-2，利用三角函数求解 的长，直接利用面积公式写函数关系式，当≤t≤12时，如图2-3所示，利用等腰直角三角形的性质求解的长度，利用梯形面积公式写函数关系式；

（3）点P、Q的运动过程，满足题意条件的有三种情形，①当EF与NQ落在同一直线上时，得△PEQ为等腰直角三角形，利用等腰三角形性质及的长列方程求解，如图3-1所示．当PF与MN落在同一直线上时，如图3-2所示，得△PQF为等腰直角三角形，利用等腰三角形性质及的长列方程求解，③当PE与QM落在同一直线上时，如图3-3所示，直接利用长度列方程求解即可．

解：（1）由题意可知，△ACD为等腰直角三角形，

∴AD=CD= =

如图1，过点A作AG⊥BC于点G，

则△ACG为等腰直角三角形．

∴AG=CG==

在Rt△ABG中， tanB

∴BC=BG+CG=3+9=12．

为等腰直角三角形，

当点F落在CD上时，△DEF、△PCF均为等腰直角三角形，

∴DE=DF= EF，PC=CF=PF．

∵△PEF为等腰直角三角形，EF=PF，

∴PC=CF=DF=CD=，

∴BP=BC-PC=12-=

∴当点F恰好落在CD上时，t=s．

（2）在点P运动过程中： ①当0≤t＜3时，如图2-1所示．

PE=BPtanB=3t，

S=

②当3≤t＜时，如图2-2所示．

S=

③当≤t≤12时，如图2-3所示．

设EF、PF分别与CD交于点K、J，

同理可得△DEK、△PCJ均为等腰直角三角形，

∴DK=CJ=PC=12-t，

KJ=CD-DK-CJ=

∴S=（KJ+PE）PC=（2t-15+9）（12-t）=．

综上所述，S与t之间的函数关系式为：

（3）在点P、Q的运动过程中：

①当EF与NQ落在同一直线上时，如图3-1所示．

此时，△PEQ为等腰直角三角形，则PQ=PE=3t．

∴BC=BP+PQ+CQ=t+3t+2t=12， ∴t= 2 s；

②当PF与MN落在同一直线上时，如图3-2所示．

此时，△PQF为等腰直角三角形，则PQ=QF=CQ=2t．

∴BC=BP+PQ+CQ=t+2t+2t=12， ∴t=s；

③当PE与QM落在同一直线上时，如图3-3所示．

∴BC=BP+CQ=t+2t=12， ∴t=4 s．

综上所述，满足条件的t的值为：或或．