Question

12．抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A（-1，0）B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）画出y=ax²+bx-3的图象．
（3）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法求出抛物线的解析式、根据二次函数的性质求出顶点坐标；
（2）根据抛物线的解析式画出函数图象；
（3）根据坐标与图形的关系和勾股定理分别求出△BCD的三边长，根据勾股定理的逆定理判断即可．

解答 解：（1）抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点D的坐标为：（1，-4）；
（2）y=x²-2x-3的图象如图：
（3）∵B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
则BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点、勾股定理的逆定理的应用以及二次函数的性质的应用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、理解二次函数的性质、能够运用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．