Question

2．如图，△ABC中，AB=AC，AE是外角∠CAD的平分线，点F在AC上，连结BF并延长与AE交于点E．  
（1）求证：△AEF∽△CBF．
（2）若AB=6，AF=2，BF=5，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=2∠DAE，再由AB=AC可得∠B=∠ACB，然后根据内角与外角的关系可得∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，进而可证明∠DAE=∠B，再根据同位角相等，两直线平行可得AE∥BC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质，得到比例式，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AE是∠CAD的平分线，
∴∠DAC=2∠DAE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，
∴∠DAE=∠B，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF；

（2）∵AB=6，
∴AC=AB=6，
∵AF=2，
∴CF=4，
∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，
即$\frac{2}{4}=\frac{EF}{5}$，
∴EF=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．