Question

【题目】如图，已知E是ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.

(1)求证：△ABE≌△FCE.

(2)连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；

（2）由△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEC等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角对等边可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形．

证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠ABE=∠ECF，

又∵E为BC的中点，

∴BE=CE，

在△ABE和△FCE中，

∵ ，

∴△ABE≌△FCE(ASA)；

(2)∵△ABE≌△FCE，

∴AB=CF，

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CF，

∴四边形ABFC为平行四边形，

∴BE=EC，AE=EF，

又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC=∠ABC+∠EAB，

∴∠ABC=∠EAB，

∴AE=BE，

∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC，

则四边形ABFC为矩形.