【题目】如图,在平面直角坐标系中,将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形,依此方式,绕点连续旋转2019次得到正方形,如果点的坐标为(1,0),那么点的坐标为________.
【答案】
【解析】
根据图形可知:点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知:将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45,可得对应点B的坐标,根据规律发现是8次一循环,可得结论.
∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴B(1,1),连接OB,
由勾股定理得:OB=,
由旋转得:OB=OB1=OB2=OB3=…=,
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1,
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45,
∴B1(0,),B2(1,1),B3(,0),…,
发现是8次一循环,所以2019÷8=252…3,
∴点B2019的坐标为(,0)
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【题目】已知关于x的方程 (m-1)x-mx+1=0。
(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)若m为整数,当m为何值时,方程有两个不相等的整数根。
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【题目】(定义新知)在数轴上,点M和点N分别表示数x1和x2 ,可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d (M,N),即d (M,N)=|x1-x2|.
(初步应用)
(1)在数轴上,点A、B、C分别表示数-1、2、x, 解答下列问题:
①d (A,B)= ;
②若d(A,C)=2,则x的值为 ;
③若d(A,C)+d(B,C)=d(A,B),且x为整数,则x的取值有 个.
(综合应用)
(2)在数轴上,点D、E、F分别表示数-2、4、6.动点P沿数轴从点D开始运动,到达F点后立刻返回,再回到D点时停止运动.在此过程中,点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度.设点P的运动时间为t秒.
①当t= 时,d(D,P)=3;
②在整个运动过程中,请用含t的代数式表示d(E,P).
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【题目】如图,已知E是ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.
(1)求证:△ABE≌△FCE.
(2)连接AC、BF,若∠AEC=2∠ABC,求证:四边形ABFC为矩形。
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【题目】已知:△ABC中,∠C=90°.
(1)如图1,若AC=4,BC=3,DE⊥AC,且DE=DB,求AD的长;
(2)如图2,请利用没有刻度的直尺和圆规,在线段AB上找一点F,使得点F到边AC的距离等于FB(注:不写作法,保留作图痕迹,对图中涉及到的点用字母进行标注) .
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【题目】如图,矩形ABCD中,点E,F分别在边AB与CD上,点G、H在对角线AC上,AG=CH,BE=DF.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)若EG=EH,AB=8,BC=4.求AE的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,则∠A1=_____.∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2,…,∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010,得∠A2010,则∠A2010=_____.
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【题目】有20筐白菜,以每筐30千克为标准,超过千克数记作正数,不足的千克数记作负数,称后的记录如下表:
与标准质量的差值(单位:千克) | 0 | 1 | 2.5 | |||
筐数 | 1 | 4 | 4 | 2 | 3 | 6 |
(1)20筐白菜中,最重的一筐比最轻的一筐重 千克;
(2)与标准重量比较,20筐白菜总计超过或不足多少千克?
(3)若白菜每千克售价3.5元,则出售这20筐白菜可卖多少元?
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