Question

【题目】如图1，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P为AB上一点（异于A、B），BD⊥直线CP于D，AE⊥直线CP于E，点F为AB的中点，连接DF．

（1）可以把△ACE绕点F逆时针旋转　 　度（度数不超过180°）和△　 　重合，则∠FDE＝　 　°．

（2）取CE的中点G，连接AD、FG，求证：AD＝2FG．

（3）如图2，AB＝8，等腰直角△MNH的斜边NH的中点也为点F，直线AM和直线CH交于点Q，连接BQ，当△MNH绕点F旋转一周时，请直接写出BQ长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）90，CBD，45；（2）见解析；（3）2-2≤BQ≤2+2

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性质可得CF=AF=BF，CF⊥BF，由“AAS”可证△ACE≌△CBD，则可以把△ACE绕点F逆时针旋转90度和△CBD重合，可得CE=DB，EF=DF，可证△CFE≌△BFD，可得∠CFE=∠BFD，可证∠EFD=90°，可求解；

(2)取BD中点H，连接FH，由中点定义和三角形中位线定理可得CG=CE=BD=BH，AD∥FH，AD=2FH，由“SAS”可证△CFG≌△BFH，可得GF=FH，可得AD=2FG；

(3)如图2，连接CF，MF，由全等三角形的性质可求∠AQC=90°，可得点Q在以AC为直径的圆上运动，即可求解．

(1)如图1，连接CF，EF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，点F为AB的中点，

∴CF=AF=BF，CF⊥BF，

∵AE⊥CD，BD⊥CD，

∴∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠CAE=90°，∠ACE+∠DCB=90°，

∴∠CAE=∠DCB，且AC=BC，∠AEC=∠CDB=90°，

∴△ACE≌△CBD(AAS)

∴可以把△ACE绕点F逆时针旋转90度和△CBD重合，

∴CE=DB，EF=DF，且CF=BF，

∴△CFE≌△BFD(SSS)

∴∠CFE=∠BFD，且∠CFE+∠EFB=90°，

∴∠BFD+∠EFB=90°，

∴∠EFD=90°，且EF=DF，

∴∠FDE=45°，

故答案为：90，CBD，45；

(2)如图1，取BD中点H，连接FH，

∵点G是CE中点，点H是BD中点，点F是AB中点，且CE=BD，

∴CG=CE=BD=BH，AD∥FH，AD=2FH，

∵△CFE≌△BFD，

∴∠FCG=∠FBH，且CG=BH，CF=BF，

∴△CFG≌△BFH(SAS)

∴GF=FH，

∴AD=2FG；

(3)如图2，连接CF，MF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，点F是AB中点，AB=8，

∴AF=CF=BF=4，CF⊥AB，AC=BC=4，

∵MN=MH，∠NMH=90°，点F是NH中点，

∴NF=FH=FM，MF⊥NH，

∴∠MFH=∠AFC=90°，

∴∠AFM=∠CFH，且AF=CF，FH=FM，

∴△AFM≌△CFH(SAS)

∴∠FAM=∠FCH，

∵∠FAM+∠CAM+∠ACF=90°，

∴∠CAM+∠ACF+∠FCH=90°，

∴∠AQC=90°，

∴点Q在以AC为直径的圆上运动，

∴当点Q在BO的延长线上时，BQ最大；当点Q在线段BO上时，BQ最小．

取AC中点O，连接BO，

∴CO=2，

∴BO===2，

∴BQ长的取值范围为