Question

17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC．

Answer 1

分析 （1）根据BD是△ABC的角平分线可知：∠EBC=60°，再由△BCD≌△BED，可知BC=EB．
（2）因为∠CEB=∠MNB=60°，所以E、M、B、N四点共圆，由圆周角定理即可求出得出∠NEB=∠NMB=60°，从而可知∠NEB=∠EBC=60°．

解答 解：（1）∵BD是△ABC的角平分线，
∠ACB=∠DEB=90°，
∴CD=DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BED（HL），
∴BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形
∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△BCE是等边三角形．
（2）由题意可知：∠CEB=∠MNB=60°，
∴E、M、B、N四点共圆，
由圆周角定理即可得出∠NEB=∠NMB=60°，
∴∠NEB=∠EBC=60°，
∴EN∥BC

点评 本题考查全等三角形的判定与性质，涉及等腰三角形、等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，综合程度较高．